[C++][算法基础]四种基本背包问题(动态规划)

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已于 2024-04-29 21:19:43 修改

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文章标签：算法 c++ 动态规划

于 2024-04-25 23:15:19 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Caveira271_/article/details/138202316

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本文探讨了背包问题的四种形式（0/1背包、完全背包、多重背包、分组背包），并展示了使用二维和一维数组的动态规划解决方案及相应代码

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

1. 01背包问题

有 𝑁 件物品和一个容量是 𝑉 的背包。每件物品只能使用一次。

第 𝑖 件物品的体积是 𝑣𝑖，价值是 𝑤𝑖。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，𝑁，𝑉，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 𝑁 行，每行两个整数 𝑣𝑖,𝑤𝑖，用空格隔开，分别表示第 𝑖 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<𝑁,𝑉≤1000
0<𝑣𝑖,𝑤𝑖≤1000

输入样例

输出样例：

代码：

1. 常规二维数组做法

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;

const int N = 1010;

int n,m;
int f[N][N];
int w[N],v[N];

int DP(){
    for(int i = 1;i <= n;i ++){
        for(int j = 1;j <= m;j ++){
            if(j >= v[i]){
                f[i][j] = max(f[i - 1][j - v[i]] + w[i],f[i - 1][j]);
            }else{
                f[i][j] = f[i - 1][j];
            }
        }
    }
    return f[n][m];
}

int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i = 1;i <= n;i ++){
        cin>>v[i]>>w[i];
    }
    int res = DP();
    cout<<res;
    return 0;
}

2. 优化一维数组做法

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N = 1010;
int f[N];
int v[N],w[N];
int n,m;

int DP(){
    for(int i = 1;i <= n;i ++){
        for(int j = m;j >= v[i];j --){
            f[j] = max(f[j],f[j - v[i]] + w[i]);
        }
    }
    return f[m];
}

int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i = 1;i <= n;i ++){
        cin>>v[i]>>w[i];
    }
    int res = DP();
    cout<<res;
    return 0;
}

2. 完全背包问题

有 𝑁 种物品和一个容量是 𝑉 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 𝑖 种物品的体积是 𝑣𝑖，价值是 𝑤𝑖。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，𝑁，𝑉，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 𝑁 行，每行两个整数 𝑣𝑖,𝑤𝑖，用空格隔开，分别表示第 𝑖 种物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<𝑁,𝑉≤1000
0<𝑣𝑖,𝑤𝑖≤1000

输入样例

输出样例：

代码：

1. 常规二维数组做法：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N = 1010;

int f[N][N];
int n,m;
int v[N],w[N];

int DP(){
    for(int i = 1;i <= n;i ++){
        for(int j = 1;j <= m;j ++){
            if(j >= v[i]){
                f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - v[i]] + w[i]);
            }else{
                f[i][j] = f[i - 1][j];
            }
        }
    }
    return f[n][m];
}

int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i = 1;i <= n;i ++){
        cin>>v[i]>>w[i];
    }
    int res = DP();
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}

2. 优化一维数组做法：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N = 1010;

int f[N];
int v[N],w[N];
int n,m;

int DP(){
    for(int i = 1;i <= n;i ++){
        for(int j = v[i];j <= m;j ++){
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
        }
    }
    return f[m];
}

int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i = 1;i <= n;i ++){
        cin>>v[i]>>w[i];
    }
    int res = DP();
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}

3. 多重背包问题

有 𝑁 种物品和一个容量是 𝑉 的背包。

第 𝑖 种物品最多有 𝑠𝑖 件，每件体积是 𝑣𝑖，价值是 𝑤𝑖。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，𝑁，𝑉，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 𝑁 行，每行三个整数 𝑣𝑖,𝑤𝑖,𝑠𝑖，用空格隔开，分别表示第 𝑖 种物品的体积、价值和数量。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<𝑁,𝑉≤100
0<𝑣𝑖,𝑤𝑖,𝑠𝑖≤100

输入样例

输出样例：

代码：

1. 常规二维数组做法

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N = 110;
int n,m;
int v[N],w[N],s[N];
int f[N][N];

int DP(){
    for(int i = 1;i <= n;i ++){
        for(int j = 1;j <= m;j ++){
            for(int k = 0;k * v[i] <= j && k <= s[i];k ++){
                f[i][j] = max(f[i][j],f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);
            }
        }
    }
    return f[n][m];
}

int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i = 1;i <= n;i ++){
        cin>>v[i]>>w[i]>>s[i];
    }
    int res = DP();
    cout<<res;
    return 0;
}

2. 优化一维数组做法

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N = 110;
int n,m;
int v[N],w[N],s[N];
int f[N];

int DP(){
    for(int i = 1;i <= n;i ++){
        for(int j = m;j >= 1;j --){
            for(int k = 1;k <= s[i] && k * v[i] <= j;k ++){
                f[j] = max(f[j],f[j - k * v[i]] + k * w[i]);
            }
        }
    }
    return f[m];
}

int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i = 1;i <= n;i ++){
        cin>>v[i]>>w[i]>>s[i];
    }
    int res = DP();
    cout<<res;
    return 0;
}

4. 分组背包问题

有 𝑁 组物品和一个容量是 𝑉 的背包。

每组物品有若干个，同一组内的物品最多只能选一个。
每件物品的体积是 $v_{ij}$ ，价值是 $w_{ij}$ ，其中 𝑖 是组号，𝑗 是组内编号。

求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出最大价值。

输入格式

第一行有两个整数 𝑁，𝑉，用空格隔开，分别表示物品组数和背包容量。

接下来有 𝑁 组数据：

每组数据第一行有一个整数 $s_{i}$ ，表示第 𝑖 个物品组的物品数量；
每组数据接下来有 $s_{i}$ 行，每行有两个整数 $v_{ij}$ , $w_{ij}$ ，用空格隔开，分别表示第 𝑖 个物品组的第 𝑗 个物品的体积和价值；

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<𝑁,𝑉≤100
0< $s_{i}$ ≤100
0< $v_{ij}$ , $w_{ij}$ ≤100

输入样例

输出样例：

代码：

优化一维数组做法：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N = 110;
int n,m,s;
int f[N];
int w[N],v[N];

int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i = 1;i <= n;i ++){
        cin>>s;
        for(int j = 1;j <= s;j ++){
            cin>>v[j]>>w[j];
        }
        for(int j = m;j >= 0;j --){
            for(int k = 1;k <= s;k ++){
                if(v[k] <= j){
                    f[j] = max(f[j],f[j - v[k]] + w[k]);
                }
            }
        }
    }
    int res = f[m];
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}