第二章 离散鞅

2.1 鞅列

定义1：给定概率空间$(\Omega ,\mathcal{F},P)$，一族$\mathcal{F}$的子$\sigma$-代数${\mathcal{F}}_n，n=0,1,2\cdots ,$称为一个信息流。若满足${\mathcal{F}}_n\subset {\mathcal{F}}_{n+1},\forall n\in N$.

说明：${\mathcal{F}}_n$代表了到时间$n$为止得到的信息。比如说，掷骰子，第$n-1$把的信息$\subset$第$n$把的信息，即${\mathcal{F}}_{n-1}\subset {\mathcal{F}}_n$.

$(\Omega ,{\mathcal{F}}_n,\mathcal{F},P)$为加流的概率空间。

特别地，若已经给定$(\Omega ,\mathcal{F},P)$上的一个随机序列X={Xn}n=0+∞X=\{X_n\}_{n=0}^{+\infty}X={Xn​}n=0+∞​，$\forall n，{{\mathcal{F}}_n}^{(X)}$表示$\sigma (X_0,X_1,\cdots ,X_n)$（使得$X_0,X_1,\cdots ,X_n$可测的最小$\sigma$域），显然有${{\mathcal{F}}_0}^{(X)}\subset {{\mathcal{F}}_1}^{(X)}\subset {{\mathcal{F}}_2}^{(X)}\subset \cdots$.所以{Fn(X)}n=0+∞\{\mathscr{F_n}^{(X)}\}_{n=0}^{+\infty}{Fn​(X)}n=0+∞​是一个信息流，称为过程$X$自带的。

例：抛硬币 Ω={w=(w1,w2,⋯ ,wn⋯ ),wi=±1}\Omega=\{w=(w_1,w_2,\cdots,w_n \cdots),w_i= \pm1\}Ω={w=(w1​,w2​,⋯,wn​⋯),wi​=±1}.

F0={∅,Ω}\mathscr{F_0}=\{\empty,\Omega\}F0​={∅,Ω}，

F1={∅,Ω,A,Ac}\mathscr{F_1}=\{\empty,\Omega,A,A^c\}F1​={∅,Ω,A,Ac}. A={(1,w2,⋯ )},Ac={(−1,w2,⋯ )}A=\{(1,w_2,\cdots)\},A^c=\{(-1,w_2,\cdots)\}A={(1,w2​,⋯)},Ac={(−1,w2​,⋯)}.

F2={∅,Ω,A1A2,A1cA2,A1A2c,A1cA2c}=σ({A1A2,A1cA2,A1A2c,A1cA2c})\mathscr{F_2}=\{\empty,\Omega,A_1 A_2,A_1^c A_2,A_1 A_2^c,A_1^c A_2^c\}=\sigma(\{A_1 A_2,A_1^c A_2,A_1 A_2^c,A_1^c A_2^c\})F2​={∅,Ω,A1​A2​,A1c​A2​,A1​A2c​,A1c​A2c​}=σ({A1​A2​,A1c​A2​,A1​A2c​,A1c​A2c​}). A1A2={(1,1,w3,⋯ )}A_1 A_2=\{(1,1,w_3,\cdots)\}A1​A2​={(1,1,w3​,⋯)}.

$\cdots$

定义2：(适应) 设随机变量序列{Xn}n=0+∞\{X_n\}_{n=0}^{+\infty}{Xn​}n=0+∞​定义在$(\Omega ,\mathcal{F},P)$上，{Fn}n=0+∞\{\mathscr{F_n}\}_{n=0}^{+\infty}{Fn​}n=0+∞​为一个信息流，若对$\forall n\in Z^{+}$有$X_n\in {\mathcal{F}}_n$则称$X_n$关于{Fn}\{\mathscr{F_n}\}{Fn​}为适应的（也可称为可知的）

特别地，由{Fn(X)}\{\mathscr{F_n}^{(X)} \}{Fn​(X)}定义知，$X_n$关于{Fn(X)}\{\mathscr{F_n}^{(X)} \}{Fn​(X)}总是适应的。

定义3（可料的）若对$\forall n\in Z^{+}$有$X_n\in {\mathcal{F}}_{n-1}$，且$X_0\in {\mathcal{F}}_0$，称$X_n$关于{Fn}\{\mathscr{F_n}\}{Fn​}为可料的。

在n时刻是确定的

例（赌博）

$X_n$：第n把下的注，有$X_n\in {\mathcal{F}}_{n-1}$，$X_n$是根据前面的信息下的注，所以说在n时刻$X_n$是确定的。

$Y_n$：第n把的结果，$Y_n\in {\mathcal{F}}_n$.

定义

定义4（鞅列）令{Xn}\{X_n\}{Xn​}是关于$(\Omega ,{\mathcal{F}}_n,\mathcal{F},P)$适应的，且$E|X|<+\infty$（可积的）

（1）若$E(X_{n+1}|{\mathcal{F}}_n)=X_n$，$\forall n\in N$，则称{Xn}\{X_n\}{Xn​}关于{Fn}\{\mathscr{F_n}\}{Fn​}是鞅

（2）若$E(X_{n+1}|{\mathcal{F}}_n)\le X_n$，$\forall n\in N$，则称{Xn}\{X_n\}{Xn​}关于{Fn}\{\mathscr{F_n}\}{Fn​}是上鞅

（3）若$E(X_{n+1}|{\mathcal{F}}_n)\ge X_n$，$\forall n\in N$，则称{Xn}\{X_n\}{Xn​}关于{Fn}\{\mathscr{F_n}\}{Fn​}是下鞅

生活是一个上鞅，随着年龄的增加，期望值越来越低。

例1 对称简单随机游动。${\xi }_n$独立同分布，令$\xi =\pm 1$，$X_n={\xi }_1+{\xi }_2+\cdots +{\xi }_n$，$X_0=0$，Ω={w=(w1,)}\Omega=\{w=(w_1,)\}Ω={w=(w1​,)}??

F0={Ω,∅}\mathscr{F_0}=\{\Omega,\empty\}F0​={Ω,∅}，… ${\mathcal{F}}_n=\sigma ({\xi }_1,\cdots ,{\xi }_n)$，证：{Xn}\{X_n\}{Xn​}关于{Fn}\{\mathscr{F_n}\}{Fn​}是鞅

(1) $E|X_n|=E|{\xi }_1+{\xi }_2+\cdots +{\xi }_n|\le n<+\infty$.可积的。$X_n\in {\mathcal{F}}_n$，适应的

(2) $E(X_{n+1}|{\mathcal{F}}_n)=E[X_n+{\xi }_{n+1}|{\mathcal{F}}_n]=E(X_n|{\mathcal{F}}_n)+E({\xi }_{n+1}|{\mathcal{F}}_n)=X_n$.

由独立性，$E({\xi }_{n+1}|{\mathcal{F}}_n)=E({\xi }_{n+1})=0$.

例2 设{Xn}\{X_n\}{Xn​}关于{ζn}\{\zeta_n\}{ζn​}是鞅，令${\mathcal{F}}_n=\sigma (X_1,\cdots ,X_n)$.

证：(1) ${\zeta }_n\supset {\mathcal{F}}_n$ ，(2) {Xn}\{X_n\}{Xn​}关于{Fn}\{\mathscr{F_n}\}{Fn​}也是鞅。

(1) 因为{Xn}\{X_n\}{Xn​}关于{ζn}\{\zeta_n\}{ζn​}是鞅，则$X_n\in {\zeta }_n$，$E|X_n|<+\infty$，$E(X_{n+1}|{\zeta }_n)=X_n$

又${\mathcal{F}}_n=\sigma (X_1,\cdots ,X_n)$是最小的$\sigma$域，所以${\zeta }_n\supset {\mathcal{F}}_n$.

由条件期望的性质4知，$E(X_{n+1}|{\mathcal{F}}_n)=E[E(X_{n+1}|{\zeta }_n)|{\mathcal{F}}_n]=E(X_n|{\mathcal{F}}_n)=X_n$.

例3 对称随机游动的平方可积鞅，${\xi }_n$独立同分布（和例1条件一样），$E{\xi }_n=0$，$E{\xi }_n^2=1$.

令${\phi }_n=X_n^2-Var(X_n)=X_n^2-n$. 证：$E({\phi }_{n+1}|{\mathcal{F}}_n)={\phi }_n$.

pf：(1) ${\phi }_n=X_n^2-n\in {\mathcal{F}}_n$ (2) $E({\phi }_n)\le n^2$

(3)$E({\phi }_{n+1}|{\mathcal{F}}_n)=E(X_{n+1}^2-(n+1)|{\mathcal{F}}_n)=E[(X_n+{\xi }_{n+1}{)}^2|{\mathcal{F}}_n]-(n+1)$

$=E(X_n^2|{\mathcal{F}}_n)+E(2X_n{\xi }_{n+1}|{\mathcal{F}}_n)+E({\xi }_{n+1}^2|{\mathcal{F}}_n)-(n+1)$

$=X_n^2+2X_{n}E({\xi }_{n+1})+1-(n+1)=X_n^2-n={\phi }_n$.