多维奇异谱分析（Multivariate Singular Spectrum Analysis，MSSA)

在实际运用中，通常需要对多个时间序列进行分析，而每个时间序列都有内部结构，且序列之间也会存在一定的依赖关系。因此，基本的单变量奇异谱分析(SSA)可以扩展到多元情况，也就是多维奇异谱分析(MSSA)。
轨迹矩阵是求解SSA的主要工具，对于多变量情况，轨迹矩阵可以有不同的定义方式。主要可以分为水平和垂直两种方式。而每一种定义方式下，又可以有recurrent和vector两种预测方法，如下图所示：

下面就主要梳理一下MSSA的内容。和SSA一样，MSSA也由两个互补阶段组成:分解和重建。第一阶段对序列进行分解，第二阶段对无噪声序列进行重构。

1. HMSSA

1. 1 分解

1.1.1 第一步 嵌入

考虑M个时间序列，先根据SSA的方法，生成第$i(i=1,...,M)$个序列的轨迹矩阵$X^{(i)}$，而后，水平地将这些轨迹矩阵拼接在一起：

$X=[X^{(1)}:X^{(2)}:...:X^{(M)}]$

要顺利的实现拼接，假设第$i$个序列的轨迹矩阵$X^{(i)}$是$L_i\ast K_i$的矩阵，其中，$L_i(2\le L_i\le N_i-1)$是每个长度为$Ni$的时间序列的窗口长度，$K_i=N_i-L_i+1,i=1,...,M$，则有$L_1=...=L_M=L,$而$K_i,N_i$可以不同。

1.1.2 第二步 SVD

这一步，对前面得到的$X_H$进行SVD操作，用${\lambda }_{H_1},...,{\lambda }_{H_L}$表示$X_H{X}_H^T$的特征值，同样，有${\lambda }_{H_1}\ge ,...,\ge {\lambda }_{H_L}\ge 0$，$U_{H_1},...,U_{H_L}$则表示对应的特征向量。
对$X_H$进行SVD的过程可以表示为:$X_H=X_{H_1}+...+X_{H_L}$，其中

因此，$X_H{X}_H^T$的结构等价于：

1.2 重构

1.2.1 第三步 分组

与SSA类似，这个步骤相当于分解矩阵$X_{H_1},...,X_{H_L}$分成几个不相交的组，并对每组中的矩阵求和。下标集合$1,\dots ,L$被划分成不相交的子集$I_1,\dots \dots ,I_m$,与$X_H=X_{I_1}+...+X_{I_m}$相对应。

1.2.2 第四步 对角平均

对角平均的目的是将重构的hankel矩阵 X I j X_{I_j} X