算法导论学习笔记（一）

2.1循环不变式（loop invariant）

1. 性质
   
   1. 初始化：循环第一次迭代前为真（即第一次赋值是否有效）；
   2. 保持：如果循环的某次迭代前它为真，那么下次迭代之前它仍为真（循环体内一次运算后回到下一个初始位置）；
   3. 终止：循环终止时提供一个有用的性质，有助于证明算法的正确性（终止时的检验）；
2. 注意点：不要过分形式主义；

2.2 伪代码中的约定

• to：迭代递增1；
• downto：迭代减少1；
• 变量一般为局部的；
• 参数为按值传递，指针为按引用传递；
• return可返回多个值；
• 布尔运算短路运算；
• error：错误，但不用说明具体发生什么错误；

2.3 RAM模型与运行时间

1. RAM模型
   
   • 通用的单处理器模型
   • 设计贴近真实计算机
   • 不涉及高速缓存与虚拟内存
     

     指数运算有时可以用位运算简化

2. 运行时间
   
   • 分最佳情况与最坏情况，一般考虑最坏情况
   • 运行时间是指执行的基本操作数
   • 一般以常数乘次数表示
3. 增长量级往往是最重要的标志

2.4归并排序及其分析

1. 循环不变式的验证

   • 初始化
     A[p..k-1]总是有序的，且当k=p时，A中共有0个元素，必然有序，故成立；

   • 保持
     每次k必然递增1，同时有i或j递增1，即i+j=k-p;

   • 终止
     终止时k=r+1，对应两个哨兵牌

2. 运行时间分析

$$T(n)= \begin{cases} \Theta(1)\\ \\ aT(n/b) + D(n) + C(n) \end{cases}$$

其中T(n/b)表示子问题，D(n)表示分解所需时间，C(n)表示合并子问题所需时间。

化简后得

$$T(n)=2T(n/2)+\Theta(n)$$

其中渐进次数与匿名函数出现次数有关，与数学含义无关，即

$$\sum_{i=1}^n{\Theta(i)}\nLeftrightarrow \Theta(1)+\Theta(2)+\cdots+\Theta(n)$$

目前由数学归纳法或画树状图的方法，可以求出$T(n)=Θ(nlgn)$