NOIP2023 天天爱打卡题解

最新推荐文章于 2024-10-17 17:45:53 发布

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最新推荐文章于 2024-10-17 17:45:53 发布 · 2.3k 阅读

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#算法 #c++ #动态规划

题意描述

小 T 同学非常热衷于跑步。为了让跑步更加有趣，他决定制作一款叫做《天天爱打卡》的软件，使得用户每天都可以进行跑步打卡。

开发完成后，小 T 同学计划进行试运行，他找了大 Y 同学来帮忙。试运行共 $n$ 天，编号为从 $1$ 到 $n$ 。

对大 Y 同学来说，如果某天他选择跑步打卡，那么他的能量值会减少 $d$ 。初始时，他的能量值是 $0$ ，并且试运行期间他的能量值可以是负数。

而且大 Y 不会连续跑步打卡超过 $k$ 天；即不能存在 $1≤x≤n−k1\le x\le n-k$ ，使得他在第 $x$ 到第 $x + k$ 天均进行了跑步打卡。

小 T 同学在软件中设计了 $m$ 个挑战，第 $i$ （ $1≤i≤m1\le i \le m$ ）个挑战可以用三个正整数 $x_i,y_i,v_i)$ 描述，表示如果在第 $x_i$ 天时，用户已经连续跑步打卡至少 $y_i$ 天（即第 $x_i-y_i+1$ 到第 $x_i$ 天均完成了跑步打卡），那么小 T 同学就会请用户吃饭，从而使用户的能量值提高 $v_i$ 。

现在大 Y 想知道，在软件试运行的 $n$ 天结束后，他的能量值最高可以达到多少？

题解

考场上没时间写离散化， $100→56100\to56$ ，警惕看错时间仙人。

8pts做法

爆搜进行哪个挑战，判断下是否满足要求即可。
时间复杂度 $O(2^n)~O(n2^n)$ ，预计得分8pts。

36pts做法

尝试设计一个 $D P$ 。
首先先将题意中的挑战定义下形式。
对第 $i$ 个挑战， $l_i,r_i,v_i)$ 表示从第 $l_i=x_i-y_i+1$ 天开始，到第 $r_i=x_i$ 天为止连续跑步，能够得到的能量值为 $v_i$ 。

设 $f_{i,0/1}$ 分别表示第 $i$ 天强制不选/不强制不选的最大能量。
在附带一个辅助数组 $arri,j=∑rk<j,lk=ivkarr_{i,j}=\sum_{r_k<j,l_k=i}v_k$ （具体实现看代码）。
不难发现有转移式
$f_{i,0} = \max{f_{i-1,0},f_{i-1,1}}$
$fi,1=max⁡i−j<kfj−1,0+∑k∈[j,i]arrk−(i−j+1)f_{i,1} = \max_{i-j<k}{f_{j -1,0}+\sum_{k\in[j,i]}{arr_k} - (i-j+1)}$ 。
当然，根据定义 $fi,1←max⁡fi,1,fi,0f_{i,1}\gets \max{f_{i,1},f_{i,0}}$