HDU ACM-Step 2.1.7 找新朋友-优快云博客

本篇介绍了一个计算新朋友数量的问题，并利用欧拉函数的性质来解决。通过给出具体的代码实现，展示了如何快速求解欧拉函数。

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题目：

Problem Description

新年快到了，“猪头帮协会”准备搞一个聚会，已经知道现有会员N人，把会员从1到N编号，其中会长的号码是N号，凡是和会长是老朋友的，那么该会员的号码肯定和N有大于1的公约数，否则都是新朋友，现在会长想知道究竟有几个新朋友？请你编程序帮会长计算出来。

Input

第一行是测试数据的组数CN（Case number，1<CN<10000），接着有CN行正整数N（1<n<32768），表示会员人数。

Output

对于每一个N，输出一行新朋友的人数，这样共有CN行输出。

Sample Input

2
25608
24027

Sample Output

7680
16016

简述：给一个数，求小于它并与其互质的数的个数。

该题利用到欧拉函数的性质。

欧拉函数（转载）：

定义：对于正整数n，φ(n)是小于或等于n的正整数中，与n互质的数的数目。

　　　　例如：φ(8)=4，因为1，3，5，7均和8互质。

性质：1.若p是质数，φ(p)= p-1.

　　　 2.若n是质数p的k次幂，φ(n)=(p-1)*p^(k-1)。因为除了p的倍数都与n互质

　　　 3.欧拉函数是积性函数，若m,n互质，φ(mn)= φ(m)φ(n).

　　根据这3条性质我们就可以推出一个整数的欧拉函数的公式。因为一个数总可以写成一些质数的乘积的形式。

　　 E(k)=(p1-1)(p2-1)...(pi-1)*(p1^(a1-1))(p2^(a2-1))...(pi^(ai-1))

　　　　 = k*(p1-1)(p2-1)...(pi-1)/(p1*p2*...*pi)

　　　　 = k*(1-1/p1)*(1-1/p2)...(1-1/pk)

在程序中利用欧拉函数如下性质，可以快速求出欧拉函数的值（a为N的质因素）

　　若( N%a ==0&&(N/a)%a ==0)则有：E(N)= E(N/a)*a;

　　若( N%a ==0&&(N/a)%a !=0)则有：E(N)= E(N/a)*(a-1);

欧拉函数模板：

int euler(int x)
{
	int res=x;
	for(int i=2; i*i<=x; i++)
	{
		if(x%i==0)
		{
			res=res/i*(i-1);
			while(x%i==0) x/=i;
		}
	}
	if(x>1) res=res/x*(x-1);
	return res;
}

代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define maxn 32678
using namespace std;
int n;int m;
int euler(int x)
{
	int res=x;
	for(int i=2; i*i<=x; i++)
	{
		if(x%i==0)
		{
			res=res/i*(i-1);
			while(x%i==0) x/=i;
		}
	}
	if(x>1) res=res/x*(x-1);
	return res;
}
int main()
{
	std::ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);
	int t;
	cin >> t;
	while(t--)
	{
		int n;
		cin >> n;
		cout << euler(n) << endl;
	}
	return 0;
}