线性代数笔记(8) 各种矩阵分解：对角、三角、满秩、QR、奇异值分解

已经考完了，考的很开心，下次还考（）
记录一下各种分解的做法：

三角分解

LDR又称为Cholesky分解
LR分解就直接设分解下来的下、上三角矩阵各未知数，根据矩阵运算解方程即可。最简单了。

对角分解

正规矩阵总能对角分解：

分解流程：

满秩分解

最后一步其实就相当于P^-1取前r列，Q^-1取前r行。其中r为A的秩。
行最简型就是各行第一个为1，且所在列其他行为0，列同理。

QR分解

QR分解就是分解成酉矩阵（单位正交基）*上三角矩阵的形式





例题：

奇异值分解

PQ均为酉矩阵。
下图中，除了第一行的D表示的是A的奇异值矩阵外，其它的D矩阵表示的都是A^H*A的特征值矩阵，而用根号（D）表示A的奇异值矩阵，也即是D每个元素开根号而已。（正常算奇异值也是用A^H*A的特征值矩阵，应该很好理解）
而根号（D）^-1表示A的奇异值矩阵取出其中的非0奇异值得到的子矩阵，的逆。
注意任何情况下，奇异值矩阵都应该是左上角的奇异值大于右下角的。

对于上述各分解，用一个例题配合看会好一些。看懂了就能直接记住流程了。