P3373 【模板】线段树 2(加,乘懒标记)

三种操作:

1.区间加

2.区间乘

3.求区间和

用两个懒标记记录加(add)和乘(mul),注意mul初始为1。

当乘上一个数时,要将他的add标记也乘,这样下传标记时直接加上就可以了。

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int n, q, m, a[N];
struct T {
	int l, r, sum, mul, add;
	#define l(p) t[p].l
	#define r(p) t[p].r
	#define sum(p) t[p].sum
	#define mul(p) t[p].mul
	#define add(p) t[p].add
}t[N << 2];
void pushup(int p) {
	sum(p) = (sum(p << 1) + sum(p << 1 | 1)) % m;
}
void build(int p, int l, int r) {
	l(p) = l, r(p) = r, mul(p) = 1;//***注意mul标记初始为1 
	if (l == r) {
		sum(p) = a[l] % m;
		return ;
	}
	int mid = (l + r) >> 1;
	build(p << 1, l, mid);
	build(p << 1 | 1, mid + 1, r);
	pushup(p);
}
void pushdown(int p) {//下传标记 
	sum(p << 1) = (sum(p << 1) * mul(p) % m + ((r(p << 1) - l(p << 1) + 1) * add(p)) % m) % m;
	sum(p << 1 | 1) = (sum(p << 1 | 1) * mul(p) % m + ((r(p << 1 | 1) - l(p << 1 | 1) + 1) * add(p)) % m) % m;
	
	mul(p << 1) = (mul(p << 1) * mul(p)) % m;
	mul(p << 1 | 1) = (mul(p << 1 | 1) * mul(p)) % m;
	
	add(p << 1) = (add(p) + add(p << 1) * mul(p)) % m;
	add(p << 1 | 1) = (add(p) + add(p << 1 | 1) * mul(p)) % m;
	
	mul(p) = 1, add(p) = 0;//***清除标记 
}
void modify1(int p, int l, int r, int val) {//乘 
	if (l(p) >= l && r(p) <= r) {
		sum(p) = (sum(p) * val) % m;
		add(p) = (add(p) * val) % m;
		mul(p) = (mul(p) * val) % m;
		return ;
	}
	pushdown(p);
	int mid = (l(p) + r(p)) >> 1;
	if (l <= mid) modify1(p << 1, l, r, val);
	if (r > mid) modify1(p << 1 | 1, l, r, val);
	pushup(p);
}
void modify2(int p, int l, int r, int val) {
	if (l(p) >= l && r(p) <= r) {
		sum(p) = (sum(p) + (r(p) - l(p) + 1) * val) % m;
		add(p) = (add(p) + val) % m;
		return ;
	}
	pushdown(p);
	int mid = (l(p) + r(p)) >> 1;
	if (l <= mid) modify2(p << 1, l, r, val);
	if (r > mid) modify2(p << 1 | 1, l, r, val);
	pushup(p);
}
int query(int p, int l, int r) {
	if (l(p) >= l && r(p) <= r) return sum(p);
	pushdown(p);
	int res = 0;
	int mid = (l(p) + r(p)) >> 1;
	if (l <= mid) res = (res + query(p << 1, l, r)) % m;
	if (r > mid) res = (res + query(p << 1 | 1, l, r)) % m;
	return res; 
}
signed main() {
	cin >> n >> q >> m;
	for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> a[i];
	build(1, 1, n);
	while (q --) {
		int op, x, y, k;
		cin >> op >> x >> y;
		if (op == 1) {
			cin >> k;
			modify1(1, x, y, k);
		}
		else if (op == 2) {
			cin >> k;
			modify2(1, x, y, k);
		}
		else cout << query(1, x, y) << endl;
	}
	return 0;
}

<think>好的,用户想了解线段树标记中为什么需要先。首先,我得回忆一下线段树标记的基本概念。线段树主要用于区间查询和更新,而标记则是为了延迟这些操作,减少不必要的计算。 接下来,重点在于为什么处理多个标记时要先进行法操作,再进行法。我记得这可能和运算的优先级有关,比如在数学中,法通常优先于法。比如,一个表达式如a*x + b,如果先的话,结果会变成a*(x + b),这显然改变了原意。所以,在同时存在法和标记时,必须确保法先应用,法后应用,才能保持运算的正确性。 然后,我需要考虑标记传递的过程。当父节点有法和标记时,子节点在继承这些标记时,需要按照先的顺序处理。例如,父节点的标记是mul和add,子节点当前的标记是cmul和cadd。那么在合并时,子节点的值应该是 (cmul * mul) + (cadd * mul + add)。这样可以保证运算顺序的正确性。 还需要考虑具体的例子来验证这个逻辑。比如,假设有一个区间节点的值为x,先应用3,再2,结果是3x + 2。但如果反过来,先23,结果就是3(x + 2) = 3x +6,这和原来的顺序不同。所以,必须保持先的顺序才能正确反映操作的实际顺序。 另外,用户提供的引用中有提到线段树标记的应用,比如引用[3]强调了理解标记的重要性,引用[2]和[4]提到了具体的标记处理步骤。这些引用支持了线段树中正确使用标记的必要性,尤其是处理复合操作时的顺序问题。 最后,总结一下,先的原因在于保持运算的数学优先级,确保标记传递和合并时的正确性,避免因顺序颠倒导致的计算错误。这需要结合具体的例子和标记传递的步骤来解释,才能让用户清晰地理解。</think>### 线段树标记中“先”的原因 在同时处理法和法操作的线段树中,**“先”** 的标记更新顺序是为了保证运算的数学优先级(法优先于法)和标记传递的正确性。具体原因如下: --- #### 1. **数学运算的优先级** 假设当前节点的值为 $x$,若先进行法操作 $mul$,再进行法操作 $add$,则最终结果为: $$x' = x \cdot mul + add$$ 如果顺序颠倒(先),结果会变为: $$x' = (x + add) \cdot mul = x \cdot mul + add \cdot mul$$ 这会引入额外的 $add \cdot mul$ 误差,导致结果错误[^3]。 **示例**: - 正确顺序(先3,再2):$x \rightarrow 3x \rightarrow 3x + 2$ - 错误顺序(先2,再3):$x \rightarrow x + 2 \rightarrow 3x + 6$(与预期不符) --- #### 2. **标记传递的合并规则** 当父节点存在未下传的法和标记时,子节点的标记需要按以下规则合并: - **标记**:子节点原有的标记 $c\_mul$ 和标记 $c\_add$ 需先与父节点的标记 $p\_mul$ 合并: $$c\_mul' = c\_mul \cdot p\_mul$$ $$c\_add' = c\_add \cdot p\_mul$$ - **标记**:再将父节点的标记 $p\_add$ 合并到子节点的标记: $$c\_add'' = c\_add' + p\_add$$ **公式总结**: 子节点的最终值为: $$x' = (x \cdot c\_mul + c\_add) \cdot p\_mul + p\_add = x \cdot (c\_mul \cdot p\_mul) + (c\_add \cdot p\_mul + p\_add)$$ --- #### 3. **实际应用场景** - **区间法+法操作**:例如批量修改区间值为 $ax + b$,需先应用法再应用法[^4]。 - **标记下传顺序**:在向下传递标记时,父节点的标记会影响子节点的所有现有标记(包括法和法),因此必须优先处理法[^2]。 --- #### 4. 代码实现示例 ```python def push_down(node): # 处理标记 left_child.mul *= node.mul left_child.add = left_child.add * node.mul + node.add left_child.value = left_child.value * node.mul + node.add * (区间长度) # 右子树同理 # 清空父节点标记 node.mul = 1 node.add = 0 ``` ---
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