51nod-1119 机器人走方格 V2

最新推荐文章于 2022-03-09 10:37:39 发布

z岁月无声

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分类专栏： 51Nod 数论文章标签：算法

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本文介绍了一个经典的组合数学问题——机器人走方格的不同路径计数方法。通过计算从左上角到右下角的路径数量，使用组合公式C(n+m-2, n-1)求解，并提供了一种高效的计算方案，利用乘法逆元进行取模运算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

1119 机器人走方格 V2

基准时间限制：1 秒空间限制：131072 KB 分值: 10 难度：2级算法题

关注

M * N的方格，一个机器人从左上走到右下，只能向右或向下走。有多少种不同的走法？由于方法数量可能很大，只需要输出Mod 10^9 + 7的结果。

Input

第1行，2个数M,N，中间用空格隔开。（2 <= m,n <= 1000000)

Output

输出走法的数量 Mod 10^9 + 7。

Input示例

2 3

Output示例

思路：对于从(1,1)到(n,m) 一共要走 n-1+m-1 即 n+m-2 步，而对于 n+m-2 步中，有 n-1 步是向下走，则走法的数量就为从n+m-2步总选择 n-1 步向下走的方案数，即为 C(n+m-2,n-1)。

对于 C(n+m-2,n-1)的另一种思路：对于从(1,1)到(n,m)，则相当与在 1-m列中，每一列下降几格，总共下降 n-1 格，其中可以下降 0 格。这就相当于在 m 个盘子中放 n -1 个苹果的方案数，盘子可以为空。

首先考虑 m个盘子放 n个苹果，盘子不可以为空, 用插板法，相当于在 n个苹果间插 m-1个板子将苹果分成 m份，方案数为C(n-1,m-1). 这是盘子不可为空的情况，若盘子可为空，那么可以假设每个盘子已经有一个苹果，那么就相当于 n+m个苹果放在m个盘子里，盘子不可为空的方案数，即为 C(n+m-1,m-1).

那么从（1,1）到（n,m）的方案数就为 C(n+m-2,m-1)=C(n+m-2,n-1)

f(n,m)
=C(n+m-2,n-1)
=((n+m-2)*(n+m-3)*...*(n+m-n)/(1*2*3*...*(n-1)))%MOD
=(n+m-2)*(n+m-3)*...*(n+m-n)*(((1*2*3*...*(n-1))^(MOD-2)) (利用乘法逆元）

Code:

#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;

const int MOD=1e9+7;
int n,m;
/*
f(n,m)
=C(n+m-2,n-1)
=((n+m-2)*(n+m-3)*...*(n+m-n)/(1*2*3*...*(n-1)))%MOD
=(n+m-2)*(n+m-3)*...*(n+m-n)*(((1*2*3*...*(n-1))^(MOD-2))
*/
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin>>n>>m;
	int nn=min(n-1,m-1);
	LL s1=1,s2=1,ans=1;
	for(int i=1,k=n+m-2;i<=nn;--k,++i)
	{
		s1=s1*k%MOD;
		s2=s2*i%MOD;
	}
	int p=MOD-2;
	while(p){
		if(p&1)	ans=ans*s2%MOD;
		s2=s2*s2%MOD;
		p>>=1;
	}
	ans=ans*s1%MOD;
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}