期望类题目如何DP（abc314-e题解）

题意：有 $N$ 个转盘，第 $i$ 个转盘上有 $P_i$ 个数 $S_{i,1}$ 到 $S_{i,P_i}$，每玩一次转盘会从中随机选取一个数作为这次的得分，每玩一次这个转盘花费 $C_i$ 元。

求总得分为 $M$ 时，花费钱数的期望。

---

赛时做了一个小时只写出一个错误的贪心，我们不妨从这个失败的贪心出发，聊聊期望类题目的正解做法。

---

错误思路：

我们不妨考虑如下的贪心策略：

计算出每个转盘上所有数的平均值作为玩一次这个转盘得数的期望，再除以每个转盘玩一次的价格，找到其中的最大值，用 $M$ 除以这个最大值得到答案。

部分代码：

	for(int i = 1; i <= n; i = i + 1)
	{
   
   
		cin >> c[i] >> p[i];
		for(int j = 1; j <= p[i]; j = j + 1)
		{
   
   
			cin >> s;
			if(s > m)
				s = m;	// 赛时写的一个毫无卵用的优化
			sum[i] += s;
		}
		ave[i] = sum[i] / double(p[i]);
		ave[i] /= c[i];
	}
	sort(ave + 1, ave + 1 + n, cmp);
	cout << m / ave[1];

这应该算是一个很多人都可能会考虑到的贪心策略了，但是其正确性究竟怎样呢？

考虑这样的数据：

N = 2
M = 100
第一个轮盘玩一次 100 元
0 0 0 0 100
第二个轮盘玩一次 100 元
0 0 0 0 0 0 0 1000

可以计算出，下面的轮盘玩一次平均获得 $125$ 元，而上面的轮盘每玩一次平均仅获得 2020