Frenet坐标系 or Cartesian坐标系？

作者 | z他山之石 编辑 | 自动驾驶之心

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首发于 Frenet坐标系 or Cartesian坐标系？

在智能驾驶领域，轨迹规划问题可以抽象成在满足一定约束条件下寻找最优解的问题，优化变量、状态方程和约束条件是决定优化问题求解复杂性的关键要素。坐标系的选择不仅是解决问题首先要考虑的，而且对优化问题形式和复杂性有着至关重要的影响。

智能驾驶领域中广泛使用的坐标系有Frenet坐标系（sl坐标系）和Cartesian坐标系（xy坐标系），两者最大的区别在于坐标轴是否允许为曲线，Cartesian坐标系即几何中常见的直角坐标系，两条坐标轴是相互正交的直线。而Frenet坐标系允许一条坐标轴为曲线（参考线s），故又称为曲线坐标系。

从定义上可以直觉得出Frenet坐标系特别适合自动驾驶领域的结论，因为车辆的行驶的绝大部分场景都是存在车道线的道路环境下，只要将道路的中心线作为参考线，就可以将复杂的道路环境简化为直线隧道模型，图1显示了Cartesian坐标系向Frenet坐标系的转换。

图1 Cartesian坐标系向Frenet坐标系的转换示意图[1]

将弯曲的道路拉直，这是Frenet坐标系最大（也许是唯一）的优点，怎么评估这个优点的大小？在自动驾驶领域，道路边界是一个不得不处理的约束，很多情况下，非线性的道路边界也是最难表示和处理的约束。这种转换直接将非线性的道路边界约束变成了线性的约束，从而大大简化了后续优化问题的求解。此外，现实中的车辆大多数时候都是沿着道路中心线行驶的，所以在Frenet坐标系中，车辆的运动可以直接解耦为纵向运动和横向运动，实现了降维的效果，这是在Cartesian坐标系中是很难实现的。所以，虽然Frenet坐标系有诸多不足之处，它依旧是自动驾驶领域优先考虑的坐标系。

下面主要讨论Frenet坐标系在使用过程中可能出现的问题点：

问题1：xy向sl坐标转换的连续性问题

xy坐标向sl坐标转换的第一步是确定投影点的位置，即在s轴上寻找距离点P最近的投影点，这是一个寻找最优值的过程，没法保证其解的唯一性。如图2所示，参考线上红色区域是曲率为kr的圆弧，圆弧上的任何一点都是其圆心位置P0的投影点。多个投影点的后果是坐标转换困难，如果在多个可行解中随机取值就可能会导致连续的xy轨迹转换成不连续的sl轨迹，这是不连续性的第一个来源。即使能实现处处一对一的转换，xy转换成sl也可能变得不连续，如图2所示，Cartesian坐标系下相距很近的P1、P2的投影点s1、s2也差距巨大。对于曲率越大的参考线，发生这种问题的风险就越高。

图2 xy向sl坐标转换导致不连续 [1]

问题2：对参考线要求高

参考线直接决定投影点的位置，以及sl曲线。以kx表示xy曲线的曲率，kf表示sl曲线的曲率，两者的转换关系如下：

式中kr为参考线曲率，所以要得到曲率连续sl曲线，不仅要求xy曲线的曲率连续，还要求参考线的曲率连续；

问题3：车辆形状扭曲

车辆一般被简化为具有固定尺寸的矩形，用四个顶点来控制其边界，甚至车辆会被抽象成一个点，向四周碰撞一定距离形成边界，在Cartesian坐标系中，这种简化与实际情况完全相符。Frenet坐标系将弯曲道路拉直的同时，也将规则的车辆变得扭曲，如下图3所示。相应地，Frenet中规则的方形实际上代表的是与参考线平行的扭曲形状，如果简单以四个顶点的模型来代表整个车辆边界，就会与真实车辆形状产生偏差，常用的碰撞检测算法就会失效。这种偏差随着参考线曲率和车辆尺寸的变大而变大。

图3 坐标转换导致车辆形状扭曲

问题4：sl和xy的坐标转换误差

工程应用中，参考线通常是以一系列离散坐标点的形式表示的，只有离散点处(x,y)的信息来自传感器，其他的heading/kappa/dkappa信息都是据此推导而来的，这些信息的连续性或平滑性，依赖于相邻参考点之间的连接处理。使用高阶连续曲线处理，可以解决连续性问题，但是会导致投影点的计算量剧增，而坐标转换的计算是个高频行为，有时甚至是算法的性能瓶颈，工程中为了降低计算复杂性，通常有以下假设：

假设1：xy向sl转换时，假设相邻两参考点之间的参考线是直线，heading保持不变。

假设2：sl向xy转换时，假设相邻两参考点之间参考线的heading是线性变化的。

在这两条不一直的假设下，xy和sl之间的来回转换就是不可逆，即(x, y) → (s,l) → (x', y')，(x, y) != (x', y')，如下图4所示。这种差异也会随着参考线曲率和轨迹的采样间隔的增加而增大。

图4 sl和xy的坐标转换误差示意图

有了上面的讨论后，我们再重新思考Frenet坐标系和Cartesian坐标系的选择问题，可以有如下建议：

1. 在小曲率的结构化道路中（如高速路或城区快速路），Frenet是首选坐标系。

2. Frenet坐标系的问题随着参考线曲率的增加而被放大，所以在大曲率的结构化道路（如城区有引导线的路口）中，选择Frenet就要慎重。

3. 对于非结构化的道路，如港口、矿区、停车场，无引导线的路口，建议使用Cartesian坐标系。

[1] B. Li, Y. Ouyang, L. Li, and Y. Zhang, “Autonomous driving on curvy roads without reliance on frenet frame: A cartesian-based trajectory planning method,” IEEE Trans. Intell. Transp. Syst., vol. 23, no. 9, pp.15729–15741, Sep. 2022

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