高级数据结构1—初识树状数组—快速求得前缀和和修改某一元素值

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  树状数组和其他的高级数据结构不同，它非常的好写，同时解决问题也比较局限，所以树状数组的题目的难度主要集中在思考而非代码。

一、基本原理

  树状数组可以解决两个操作：快速的求前缀和、修改某一个数，这两个操作都是O(logn)的。

  这两个操作如果我们直接来操作：

• 存原数组，前缀和O(N)，修改一个数O(1)
• 维护前缀和，前缀和O(1)，修改一个数O(N)

  有一种鱼和熊掌不可兼得的感觉，但是我们的题目中时间复杂度一般取决于最糟糕的时间复杂度，所以如果有n次查询，那么复杂度会达到O(n^2)。树状数组有一个折中的思想，它让这两个操作的时间复杂度都变成了O(logn)，这样总时间复杂度就是O(nlogn)，就会快很多了。

  它是一种基于二进制的方法来解决这个问题的。

  假设我们有一个数x，其二进制表示为：
$$\begin{gathered} x=2^{i_k}+2^{i_{k-1}}+...+2^{i_1} \\ {i}_k>=i_{k-1}>=...>=i_1 \end{gathered}$$
  假设我们想求的是下标为1~x的总和，那么我们可以把1~x这个区间划分成k部分：
$$\begin{gathered} (x-2^{i_1},x] \\ (x-2^{i_1}-2^{i_2},x-2^{i_1}] \\ ... \\ (0,x-2^{i_1}-2^{i_2}-...-2^{i_{k-1}}] \end{gathered}$$
  这样就把下标为1~x这个区间划分成了logx份，这样如果算1~x的总和，只需要求logx个区间的和就能算出来了。

  这个思想就是让我们在logn的时间复杂度中使用前缀和的思想。

  下面来看看区间中元素的个数和区间右端点有什么关系：
$$\begin{gathered} (x-2^{i_1},x],元素个数2_1^i个 \\ (x-2^{i_1}-2^{i_2}, \end{gathered}$$