视觉SLAM十四讲 第9讲 后端1 贝叶斯法则 式9.5推导

在学习高博的视觉SLAM十四讲第9讲后端1的时候，看到了式9.5，有如下内容：

下面我们来看如何对状态进行估计。按照贝叶斯法则，把$z_k$和$x_k$交换位置，有：
$$P(x_k|x_0,u_{1:k},z_{1:k})\propto P(z_k|x_k)P(x_k|x_0,u_{1:k},z_{1:k-1})\text{\hspace{1em}(9.5)}$$
读者应该不会感到陌生。这里的第一项称为似然，第二项称为先验。

我最讨厌这种有“易知”、“容易推出”、“即可得”但是又不明白怎么来的的感觉。贝叶斯定理基本的我知道，似然我知道，先验我知道，可是你说交换了位置就直接有了这个式子是怎么来的呢。。。为了解决这种痛苦，请了数理学院的大佬帮忙推导博客主页

关键点在于：

1. 式9.5的推导是省略了一些步骤的
2. 关键点在于P235页的式9.3。$x_k$和$u,z$有关，而$z_k$只和当前时刻的$x_k$有关。意思是说$z_k$和$x_0,u_{1:k},z_{1:k-1}$是相互独立的。
3. 所以可以根据贝叶斯定理、条件概率公式、相互独立的性质进行推导

基本的公式/性质：

贝叶斯定理：$P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$
条件概率：$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$
相互独立：若A与B相互独立，则$P(A|B)=P(A)$

现在可以开始推导，为了书写的简洁，我们令事件集$(x_0,u_{1:k},z_{1:k-1})=B$：

$$\begin{array}{rl}P(x_k|x_0,u_{1:k},z_{1:k})& =P(x_k|B,z_k)\\ & =\frac{P(x_k,B,z_k)}{P(B,z_k)}=\frac{P(z_k|x_k,B)P(x_k,B)}{P(B,z_k)}\\ & =\frac{P(z_k|x_k)P(x_k,B)}{P(B,z_k)}\\ & =\frac{P(z_k|x_k)P(x_k|B)P(B)}{P(B)P(z_k)}\\ & =\frac{P(z_k|x_k)P(x_k|B)}{P(z_k)}\\ & =\frac{P(z_k|x_k)P(x_k|x_0,u_{1:k},z_{1:k-1})}{P(z_k)}\end{array}$$
式子推导过程中应用到了贝叶斯定理、条件概率和事件相互独立的性质，最后把$P(z_k)$略去，把等于号变成正比于符号，便有：
$$P(x_k|x_0,u_{1:k},z_{1:k})\propto P(z_k|x_k)P(x_k|x_0,u_{1:k},z_{1:k-1})$$

敲公式不易，点个赞再走吧~~~

如果大佬觉得有什么更好的推导或者理解思路，欢迎留言一起讨论~~