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最新推荐文章于 2020-01-17 08:35:32 发布

CQU_HYX

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分类专栏：动态规划数学

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/CQU_HYX/article/details/52423523

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本文探讨了如何高效计算一个包含1e6个元素的数组中所有子序列的值通过AND运算等于0的数量。利用动态规划和容斥原理，文章提出了一种优化方案来解决这一问题，避免了传统方法中的高复杂度。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目

给你 $1e6$ 个数，你需要找出有多少子序列，他们的值 $and$ 起来为0。

思路

设 $f(s)$ 表示状态为 $s$ ， $s$ 中为1的位一定是1，为0的位可能为1的可选数字的个数， $g(s)$ 表示状态 $s$ 中为1的位的个数。那么可以由容斥原理得到 $ans = \sum_{s=0}^{2^{20}}(-1)^{g(s)}*(2^{f(s)}-1)$

核心就在于计算 $f(s)$ 的值，若暴力计算，需要枚举 $s$ 的子集复杂度高达 $3^{20}$ ，不可行。考虑 $dp[i][s]$ 表示低 $i$ 位为 $s_{0}$ ，高 $(19-i)$ 位为 $s_{1}$ 的数的个数，其中， $s_{0}$ 中为1的一定为1，为0的可能为1， $s_{1}$ 中为1的一定为1，为0的一定为0。

转移显然，

$d p [i] [s] = {d p [i - 1] [s], d p [i - 1] [s] + d p [i - 1] [s | 1 < < (i - 1)], s i = 1 s i = 0$ $dp[i][s]=\left\{ \begin{aligned} & dp[i-1][s], & s_{i} = 1 \\ & \space dp[i-1][s] + dp[i-1][s | 1<<(i-1)], & s_{i} = 0 \end{aligned} \right.$

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//
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iomanip>
#include <cassert>
#include <iostream>
#include <map>
#include <queue>
#include <string>
#include <sstream>
#include <set>
#include <vector>
#include <stack>
#define ALL(x) x.begin(), x.end()
#define INS(x) inserter(x, x,begin())
#define ll long long
#define CLR(x) memset(x, 0, sizeof x)
using namespace std;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const ll MOD = 1e9 + 7;
const int maxn = 1025 * 1025;
const int maxv = 1e3 + 10;
const double eps = 1e-9;

ll dp[21][maxn];
ll Pow(ll a, ll n) {
    ll ret = 1;
    while(n) {
        if(n & 1) ret = ret * a % MOD;
        n >>= 1;
        a = a * a % MOD;
    }
    return ret;
}
int main() {
#ifdef LOCAL
    freopen("C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\in.txt", "r", stdin);
    freopen("C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\out.txt","w",stdout);
#endif
//  ios_base::sync_with_stdio(0);
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        int a;
        scanf("%d", &a);
        dp[0][a]++;
    }
    for(int i = 1; i <= 20; i++) {
        for(int s = 0; s < 1 << 20; s++) {
            dp[i][s] = dp[i-1][s];
            if((s >> (i - 1) & 1) == 0) dp[i][s] += dp[i-1][s | (1 << i - 1)];
            assert(dp[i][s] >= 0);
        }
    }
    ll ret = 0;
    for(int i = 0; i < 1 << 20; i++) {
        int num = __builtin_popcount(i);
        if(num & 1) ret = (ret + MOD - Pow(2, dp[20][i]) + 1) % MOD;
        else ret = (ret + Pow(2, dp[20][i]) - 1 + MOD) % MOD;
    }
    cout << ret << endl;
    return 0;
}