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最新推荐文章于 2018-08-14 19:51:47 发布

CQU_HYX

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分类专栏：数学

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/CQU_HYX/article/details/52213961

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本文介绍了一种通过高斯消元法解决特定数学问题的方法：如何从一组整数中选择若干个数相乘得到一个完全平方数。文章提供了一个C++实现的例子，详细解释了如何将问题转化为线性代数问题并求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

每个数的质因子的大小不超过2000，2000以内质数大概300个。因为要选取若干数，使得他们乘起来是完全平方数，等价于把他们质因数的质数加起来，各质因数质数 $\%2$ 为 $0$

考虑每个 $a_{i}$ 都是一个列向量，每个 $a_{i,j}$ 就是第 $i$ 个数的第 $j$ 个质因子的次数，那么要求的就是对于每一行都有 $\sum_{0 \leq j < n }a_{i,j} ≡ 0 \space mod \space 2$ 高斯消元搞一搞，数数自由元即可

//
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//  Copyright (c) 2015 Running Photon. All rights reserved.
//
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <map>
#include <queue>
#include <string>
#include <sstream>
#include <set>
#include <vector>
#include <stack>
#define ALL(x) x.begin(), x.end()
#define INS(x) inserter(x, x,begin())
#define ll long long
#define CLR(x) memset(x, 0, sizeof x)
using namespace std;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int MOD = 1e9 + 7;
const int maxn = 1e5 + 10;
const int maxv = 2e3 + 10;
const double eps = 1e-9;

int maxprime[maxv];
std::vector <int> primes;
int mp[311][311];
void init() {
    for(int i = 2; i <= 2e3; i++) {
        if(!maxprime[i]) {
            primes.push_back(i);
            for(int j = i; j <= 2e3; j += i)
                maxprime[j] = i;
        }
    }
//  for(int i = 0; i < primes.size(); i++) {
//      printf("%d\n", primes[i]);
//  }
}
ll Pow(ll a, ll n) {
    ll ret = 1;
    while(n) {
        if(n & 1) ret = ret * a % MOD;
        a = a * a % MOD;
        n >>= 1;
    }
    return ret;
}
void print(int n, int m) {
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        for(int j = 0; j <= m; j++) {
            printf("%d ", mp[i][j]);
        }
        puts("");
    }
}
ll Gauss(int equ, int var) {
//  print(equ, var);
    int row = 0, col = 0;
    int Free = 0;
    for(row = 0, col = 0; row < equ && col < var; row++, col++) {
        int maxRow = row;
        for(int i = row + 1; i < equ; i++) {
            if(mp[i][col] > mp[maxRow][col]) maxRow = i;
        }
        if(!mp[maxRow][col]) {
            Free++;
            row--;
            continue;
        }
        if(maxRow != row) {
            for(int j = col; j <= var; j++) swap(mp[row][j], mp[maxRow][j]);
        }
        for(int i = row + 1; i < equ; i++) {
            if(mp[i][col]) {
                for(int j = col; j <= var; j++) {
                    mp[i][j] ^= mp[row][j];
                }
            }
        }
    }
    return Pow(2, Free);
}
int main() {
#ifdef LOCAL
    freopen("C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\in.txt", "r", stdin);
//  freopen("C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\out.txt","w",stdout);
#endif
//  ios_base::sync_with_stdio(0);
    init();
    int cas = 0, T;
    scanf("%d", &T);
    while(T--) {
        printf("Case #%d:\n", ++cas);
        int n = 0, m;
        scanf("%d", &m);
        CLR(mp);
        for(int j = 0; j < m; j++) {
            ll x;
            scanf("%lld", &x);
            int i = 0;
            for(i = 0; x != 1; i++) {
                int cnt = 0;
                while(x % primes[i] == 0) {
                    x /= primes[i];
                    cnt++;
                }
                mp[i][j] = cnt % 2;
            }
            n = max(n, i);
        }
//      printf("n = %d  m = %d\n", n, m);
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            mp[i][m] = 0;
        }
        printf("%lld\n", (Gauss(max(n, m), m) - 1 + MOD) % MOD);
    }
    return 0;
}