LeetCode 热题 HOT 100 （040/100）【宇宙最简单版】

【动态规划】No. 0312 戳气球【困难】👉力扣对应题目指路

希望对你有帮助呀！！💜💜 如有更好理解的思路，欢迎大家留言补充 ~ 一起加油叭 💦
欢迎关注、订阅专栏 【力扣详解】谢谢你的支持！

---

⭐ 题目描述：给定一个数组 nums，它的第 i 个元素表示编号为 i 的气球上的数字。 每次戳破气球 i，可以获得 nums[i-1] * nums[i] * nums[i+1] 个硬币，返回通过戳破所有气球所能获得的 最大硬币数量

• 其中，nums[i-1] 和 nums[i+1] 是气球 i 左右相邻的气球编号
• 如果 i-1 或 i+1 超出数组边界，则视为 1

---

示例：

示例 1：

• 输入: nums = [3,1,5,8]
• 输出: 167
• 解释:
  • nums = [3,1,5,8] --> [3,5,8] --> [3,8] --> [8] --> []
  • 硬币数 = 3*1*5 + 3*5*8 + 1*3*8 + 1*8*1 = 167

示例 2：

• 输入: nums = [1,5]
• 输出: 10

---

🔥 思路：这道题的关键在于找到戳破气球的最佳顺序。由于直接模拟顺序较复杂，我们可以通过 动态规划 来解决问题

1. 动态规划定义

• 设 dp[i][j] 表示 戳破区间 （i, j） 中所有气球后所能获得的最大硬币数 （不包含边界）
• i 和 j 是气球的左右边界。为了方便处理边界条件，假设数组两端各有一个虚拟气球，值为 1

2. 状态转移：

• 当最后戳破气球 k 时，其左右未戳破的区间为 (i, k) 和 (k, j)
• dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j] + nums[i] * nums[k] * nums[j])
  • nums[i] * nums[k] * nums[j]：最后戳破气球 k 时的硬币数 (即最后只剩下边界和 k)
  • dp[i][k]：区间 (i, k) 的最大硬币数
  • dp[k][j]：区间 (k, j) 的最大硬币数

3. 计算顺序：【按区间长度从小到大遍历：for length in range(2, n+1)】

🔨 代码实现

class Solution:
    def maxCoins(self, nums: list[int]) -> int:
        # 在 nums 两端加入虚拟气球，值为 1
        nums = [1] + nums + [1]
        n = len(nums)
        
        # 初始化 dp 数组
        dp = [[0] * n for _ in range(n)]

        # 按区间长度逐渐递增
        for length in range(2, n+1):  # length 表示区间长度，至少为 2
            for i in range(0, n-length):  # 左边界
                j = i + length  # 右边界
                # 在区间 [i, j] 中尝试最后戳破气球 k
                for k in range(i + 1, j):  # k 在 (i, j) 范围内
                    dp[i][j] = max(dp[i][j],
                                   dp[i][k] + dp[k][j] + nums[i] * nums[k] * nums[j])

        return dp[0][n-1]

复杂度分析:

• 时间复杂度：O(n^3)，外层两重循环分别是区间长度和左边界，最内层是遍历气球 k ✨
• 空间复杂度：O(n^2)，使用了一个二维数组 dp 存储中间状态 ✨

希望对你有帮助呀！！💜💜 如有更好理解的思路，欢迎大家留言补充 ~ 一起加油叭 💦
🔥 LeetCode 热题 HOT 100