数据结构--第一章

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本文探讨了逻辑结构和存储结构的区别与联系，逻辑结构关注数据元素间的关系，而存储结构是这些关系在计算机中的实际表示。线性结构可以使用数组或链表实现，不同逻辑结构可以有多种存储实现。接着，文章介绍了算法的时间复杂度分析，包括大O、Ω和θ表示法，以及如何通过它们评估算法效率。最后，分析了一个具体的代码示例，确定了其时间复杂度为O(n)。

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1. 简述逻辑结构与存储结构的关系。

就我个人理解而言，逻辑结构，软件层面上看的话，用特殊的容器将数据按序保存起来的一种结构，如链表、数组、队列等。存储结构，即真实的物理存储结构，指硬件上。

网上摘抄的回答：

存储结构是逻辑结构的存储映像，逻辑结构指的是数据间的关系，它又分为线性结构和非线性结构,这两者并不冲突。一个指的是数据之间的关系，而另一个指这种关系在计算机中的表现形式。

两者的区别就在于给他们定义的特殊操作，它们都有”出“和”入“两种操作，一个是“先进先出”，而一个是“后进先出”。一种逻辑结构在计算机里可以用不同的存储结构实现。比如逻辑结构中简单的线性结构，可以用数组（顺序存储）或单向链表（链接存储）来实现。

逻辑结构：指各数据元素之间的逻辑关系。

存储结构：就是数据的逻辑结构用计算机语言的实现。

扩展资料：

1、逻辑结构是指数据之间的相互关系。通常分为四类结构：集合：结构中的数据元素除了同属于一种类型外，别无其它关系。线性结构：结构中的数据元素之间存在一对一的关系。树型结构：结构中的数据元素之间存在一对多的关系。图状结构：结构中的数据元素之间存在多对多的关系。

2、存储结构是指数据结构在计算机中的表示，又称为数据的物理结构。通常由四种基本的存储方法实现：顺序存储方式。数据元素顺序存放，每个存储结点只含一个元素。存储位置反映数据元素间的逻辑关系。存储密度大。但有些操作（如插入、删除）效率较差。数据元素间的逻辑关系。这种方式不要求存储空间连续，便于动态操作（如插入、删除等），但存储空间开销大（用于指针），另外不能折半查找等。索引存储方式。除数据元素存储在一组地址连续的内存空间外，还需建立一个索引表，索引表中索引指示存储结点的存储位置（下标）或存储区间端点（下标）。散列存储方式。通过散列函数和解决冲突的方法，将关键字散列在连续的有限的地址空间内，并将散列函数的值解释成关键字所在元素的存储地址。其特点是存取速度快，只能按关键字随机存取，不能顺序存取，也不能折半存取。

2. 度量一个算法的执行时间通常有几种方法？各有何优缺点？

	大O表示法	Ω表示法	θ表示法
定义	如果存在证书 c 和 N，使得对任意的 n ≥ N，都有 f(n) ≤ cg(n)，则称 f(n) 在集合 O(g(n)) 中，或简称 f(n) 是 O(g(n)) 的。	如果存在整数 c 和 N，使得对所以的 n ≥ N，都有 f(n) ≥ cg(n)，则称函数 f(n) 在集合 Ω(g(n)) 中，或简称 f(n) 是 Ω(g(n)) 的。	存在正常数 $\small c_{1}$ 和 $\small c_{2}$ 以及正整数 N，使得对于任意的正整数 n > N 有下列两不等式同时成立： $\small c_{1}g(n)$ ≤ f(n) ≤ $\small c_{2}g(n)$
优点	提供了一种表达函数增长率上限的方法。表达了一种算法最多会差到何种程度。	提供了一种表达函数增长率下限的方法。表达了一种算法最多会好到何种程度。	即给出了函数增长率的上限，也给出了函数增长率的下限。
缺点	不能给出函数增长率的下限。	不能给出函数增长率的上限。
特性	* 如果函数 f(n) 是 O(g(n)) 的，g(n) 是 O(h(n)) 的，则 f(n) 是 O(h(n)) 的。 * 如果函数 f(n) 是 O(h(n)) 的， g(n) 是 O(h(n)) 的，则 f(n) + g(n) 是 O(h(n)) 的。 * 函数 a $n^{k}$ 是 O( $n^{k}$ ) 的，符号 a 表示不依赖于 n 的任意常数。 * 若 f(n)=cg(n)，则 f(n) 是 O(g(n)) 的。 * 对任何正数 a 和 b，且 b ≠ 1，函数 $\small log_{a}n$ 是 O( $\small log_{b}n$ )的。即任何对数函数无论底数为何值，都具有相同的增长率。 * 对任何正数 a ≠ 1，都有 $\small log_{a}n$ 是 $\small log_{2}n$ 的。 $\small log_{2}n$ 简写为 $\small logn$ 。 g(n) = 1，常数函数，不依赖于数据规模 n。 g(n) = $\small logn$ ，对数函数，比线性函数 n 长得慢。 g(n) = n，线性增长，随时间规模 n 而增长。 g(n) = $\small n^{2}$ ，二阶增长，例如：1 + 2 + 3 + ··· + n = n x (n + 1) / 2 g(n) = $\small nlog(n)$ ，其增长率的阶数低于二阶，但高于一阶线性。 g(n) = $\small a^{n}$ ，指数增长，随问题规模 n 快速增长。		例如： f(n) = 100 x $\small n^{2}$ + 5 x n + 500 令 g(n) = $\small n^{2}$ ，存在常数 $\small c_{1}$ = 100， $\small c_{2}$ = 105，N =10，当 n > N 时， $\small c_{1}$ g(n) ≤ f(n) ≤ $\small c_{2}$ g(n)。则 f(n) 为 θ( $\small n^{2}$ )

3. 分析下面函数的时间复杂度。

void func(int n)
{
    int i = 1, k = 100;
    while(i < n)
   {
        k++; i += 2;
   }
}

单论赋值的话，k++ 等价于 k = k + 1。i += 2 等价于 i = i + 2。 i 和 k 进行初始化，算 2 次。即 while 循环每次有2次赋值操作。那么算下来就是 2 + 2x(n - 1) 即为 2n，用大O表示法即为 O(n)。

4. 设 n 是偶数且有程序段：

for (int i = 1; i <= n; i++)
{
    if(2 * i <= n)
    {
        for (int j = 2*i; j <= n ; j++)
        {
            y = y + i * j;
        }
    }
}

则 y=y+i*j 的执行次数是多少？

分析：

外层循环 for 的执行次数是 n。内层循环中的 for 循环 i值最大是 n/2，即有 n/2 项：

当 i = 1 时，内部 for 循环执行 y=y+i*j 表达式的次数为 n-1 次。

当 i = 2 时，内部 for 循环执行 y=y+i*j 表达式的次数为 n-3 次。

当 i = 3 时，内部 for 循环执行 y=y+i*j 表达式的次数为 n-5 次。

...

当 i = n/2 - 1 时，内部 for 循环执行 y=y+i*j 表达式的次数为 3 次。

当 i = n/2 时，内部 for 循环执行 y=y+i*j 表达式的次数为 1 次。

所以当总共执行的次数是 n-1 + n- 3 + n - 5 + ··· + 3 + 1 = $\small \frac{n^{2}}{2}$

5. 将下列函数按它们在 $\small n \to \infty$ 时的无穷大阶数，从小到大排列。

$\small n$ ， $\small n-n^{3}+7n^{5}$ ， $\small nlogn$ ， $\small 2^{n/2}$ ， $\small n^{3}$ ， $\small logn$ ， $\small n^{1/2}+logn$ ， $\small \left ( 3/2 \right )^{n}$ ， $\small n!$ ， $\small n^{2}+logn$

这个好办，这些表达式，都是随着n的增长而增长，直接取大数带入算出各个表达式的大小即可。

答案是： $\small logn$ < $\small n^{1/2}+logn$ < $\small n$ < $\small nlogn$ < $\small n^{2}+logn$ < $\small n^{3}$ < $\small n-n^{3}+7n^{5}$ < $\small 2^{n/2}$ < $\small \left ( 3/2 \right )^{n}$ < $\small n!$ 。