随机概率相关的面试题

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1. 已知有个rand7()的函数，返回1到7随机自然数，让利用这个rand7()构造rand10() 随机1~10。
只调用一次rand7()肯定无法达到目的。我们调用两次rand7()，这样我们可以随机的得到1~49中的一个数，为什么呢？
我们将49分成7段，1~7,8~14,15~21,22~28,29~35,36~42,43~49，第一次rand7()随机选择其中一段，第二次rand7()，随机选择段内的一个数，这样我们得到的1~49中的数都是等概率的。
然后我们想办法将1~49映射到1~10，显然无法直接映射，我们只取1~40，对于41~49我们抛弃，这样并没有影响其随机特性，因为1~40中的每一个数都是等概率出现的。
然后（1~4）→1，（5~8）→2，……。这样就完成了rand10的功能。

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1. int rand10()  
2. {  
3.     int x;  
4.     do  
5.     {  
6.         x = (rand7()-1)*7+rand7();  
7.     }while(x > 40)  
8.     return (x-1)%4+1;  
9. }  

2. 有一个随机生成器randA()，以p的概率返回0，1-p的概率返回1，利用这个randA()构造randB()，使randB()等概率的返回0和1，即0.5的概率返回0，0.5的概率返回1。
只调用一次randA()，我们也无法实现randB()，所以也要调用两次。
调用两次共有4种结果，得到00，概率为p*p；得到01，概率为p*(1-p)；得到10，概率为(1-p)*p；得到11，概率为(1-p)*(1-p)。
容易发现有两种情形概率相等，01和10，那么我们可以把这两种情况映射为返回0或1，如果得到的是其它两种情况，那么我们就继续再调用两次randA()；

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1. int randB()  
2. {  
3.     int x1, x2;  
4.     do  
5.     {  
6.         x1 = randA();  
7.         x2 = randA();  
8.     }while(x1+x2 != 1)  
9.     return x1;  
10. }  

3. 程序的输入包含两个整数m和n，其中m<n。输出是0~n-1范围内m个随机整数的有序列表，不允许重复。从概率的角度来说，我们希望得到没有重复的选择，其中每个选择出现的概率相等。

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1. void generate(int m,int n)  
2. {  
3.     int t = m;  
4.     for(int i = 0; i < n; i++)  
5.         if(Rand(0,n-1-i) < t) //即以t/(n-i)的概率执行下面的语句  
6.         {  
7.             printf("%d\n",i);  
8.             t--;  
9.         }  
10. }  

其中，Rand(a,b)随机产生[a,b]范围内的一个整数。
上述算法源自Knuth的《计算机程序设计艺术 第2卷 半数值算法》。Knuth 给出了概率上的证明，每个数选中的概率都是m/n，而且恰好选中m个数。

简单验证一下：

第0个数，被选中的概率是；

第1个数，被选中的概率是；

第2个数，被选中的概率是；

4. 给出一个n个元素的数组，对所有元素随机中排，也就是说，n！种可能的元素排列中随机选出一种。

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1. void random_shuffle(int A[], int n)  
2. {  
3.     for(int i = n-1; i > 0; i--)  
4.     {  
5.         swap(a[i], a[Rand(0, i)]);//即随机选择0~i中的一个元素  
6.     }  
7. }  

其中， Rand(a,b)随机产生[a,b]范围内的一个整数。
简单验证一下，详细证明请参考 Knuth的《计算机程序设计艺术 第2卷 半数值算法》。
当对于第n-1个位置，swap (a[n-1], a[Rand(0, n-1)])，使得每一个元素出现在位置n-1的概率都是1/n；
再考虑第n-2个位置，每个元素出现在第n-2个位置上的概率是(n-1)/n * 1/(n-1) = 1/n，即在第n-1个位置没有被选中，然后在第n-2个位置被选中；
再考虑第n-3个位置，每个元素出现在第n-3个位置上的概率是(n-1)/n * (n-2)/(n-1) * 1/(n-2) = 1/n，在第n-1和第n-2个位置都没有被选中，然后在第n-3个位置被选中。