算法工程师面试题--概率题

常考题目

1- 圆内随机抽样

问题：

如何实现在半径为1的圆内均匀随机抽样

方法：

• 方法：
  在 $x\in [-1,1],y\in [-1,1]$随机选取，如果此点在圆内，就是所求的点。

相关问题：能够通过半径和角度的形式实现？

角度 [0,2pi] 均匀选取，但是半径选择概率需要和圆心距离成正比。

2- 组成三角形的概率

问题：

一根木棍截成3截，组成三角形的概率？

回答：

p = 1/4
设原木棍长度为1，截成三段为x,y,z , 则 z = 1-x-y

3- 吃苹果

问题：

2人扔硬币决定谁先吃这个苹果，抛到正面者吃，求先抛硬币的人吃到的概率。

回答

$p=\frac{2}{3}$

先手者在第 1、3、5、7、…次抛
后手者在第 2、4、6、8、…次抛
假设先手者吃到苹果的概率为 $p$，第一次抛硬币得到苹果的概率为 $\frac{1}{2}$，在第3次（3、5、7.）得到苹果的概率为 $\frac{p}{4}$，（一二次都反面）。
$p=\frac{1}{2}+\frac{p}{4}$

4- 扔骰子的期望

问题

抛一个6面的骰子，连续抛，直到为6为止，期望抛的次数是多少？

回答

方法一：
p = 1/6， E = $\frac{1}{p}$ = 6

方法二：
有1/6的概率第一次就扔到6，所以还有5/6的概率是当前的期望次数+1
$E=\frac{1}{6}\times 1+\frac{5}{6}\times (1+E)$
$E=1+\frac{5}{6}\times E\Rightarrow E=6$

5- 球涂白的次数期望

题目

一个桶有M个白球，每分钟从桶中随机抽取一个球涂成红色，在放回，求桶中全部球被涂红的期望

回答

期望次数：
$E(M)=\frac{m}{m}+\frac{m}{m-1}+\cdots +\frac{m}{1}+0$
分析方法论–数学归纳法：
假设桶中有$i$个红球，再把所有球涂红的期望为 $a[i]$ 。
1- 再取出一个球，红色的概率为$\frac{i}{M}$，剩余的期望为 $a[i]$
2- 再取出一个球，白色的概率为$1-\frac{i}{M}$，剩余的期望为 $a[i+1]$。
$\Rightarrow$递推公式：
$a[i]=(1+a[i])\times \frac{i}{m}+(1-\frac{i}{m})\times (1+a[i+1])$
又因为 $a[m]=0$
$\Rightarrow a[0]=E(M)=\frac{m}{m}+\frac{m}{m-1}+\cdots +\frac{m}{1}+0$

6- 宝剑升级次数的期望

问题

有一把宝剑，每使用一个保湿，有50%的概率会让宝石升一级，50%的概率会失败。如果宝石级别大于等于5，失败会让宝剑降一级，如果保健品级别小于5，失败没有效果，请问期望多少可以让一级宝剑升到9级？

回答

36次。
分析：
使用 $a[i]$ 表示从 $i-1$ 级升到 $i$ 级期望的宝石数量。
(1) i<=5 时，a[2] = a[3]= a[4] = a[5] = 2
(2) i>5 时，从 $i-1$ 级 到 $i$ 级,因为会降级，成功的话消耗一个宝石，否则需要先使用$a[i-1]$个宝石升到 $i-1$级，然后再使用 $a[i]$ 升到 $i$ 级。
$$a[i]=\frac{1}{2}\times 1+\frac{1}{2}\times (1+a[i-1]+a[i])=1+\frac{1}{2}\times a[i-1]+\frac{1}{2}a[i]$$
$$\Rightarrow a[i]=a[i-1]+2$$
从而： a[6] = 4, a[7] = 6 , a[8] = 8, a[9] = 10.
从一级升到9级：$a[2]+a[3]+\cdots +a[9]=36$

超级好的文章：
（1）排列和组合讲解：https://www.zhihu.com/question/26094736