微积分的本质

微积分的本质 - 01 从圆的面积到微积分的本质 这篇学习笔记总结了3Blue1Brown微积分课程的核心思想。作者通过计算圆面积的例子,展示了如何从近似(将圆分割为同心环)到精确(积分求和)的过程,解释了微分与积分的互逆关系。笔记强调了导数作为解决积分问题的关键,以及微积分基本定理的重要性:积分函数就是导数累加的面积函数。整个过程体现了数学从特例中发现普遍规律的特点,让人感受到"发明数学"的思维过程。 阅读详情

3Blue1Brown-微积分的本质

02导数的悖论

导数----->变化率的最佳近似

03用几何来求导

幂函数
三角函数

04链式法则的直观理解

05指数函数

震惊到了!
f(x) = ax
f(x)’ = ax Ina 是怎么来的呢?
我们知道(ex )’ = ex
那我们就可以利用链式法则来看
ax = e(Ina)x
那么(ax)’ = (e(Ina)x)’ = (Ina)ex
所以才会有那七种不定式形式换成eg(x)In(f(x))之类的~

微积分的本质 - 02 - 导数的悖论 这篇文章通过3Blue1Brown的微积分教程,深入浅出地探讨了导数的本质。作者指出"瞬时变化率"这一概念存在逻辑悖论,因为变化需要两个时间点才能测量。文章通过汽车运动示例,展示如何用极限思想解决这一矛盾:将时间差dt趋近于0,用ds/dt表示某点切线斜率,从而得到速度函数v(t)。以s(t)=t³为例,详细演示了求导过程,最终得到导函数3t²。作者强调导数并非测量"瞬时变化",而是"变化率的最佳近似",揭示了微积分通过极限概念巧妙处理无穷小量的智 阅读详情

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微积分的本质学习笔记

微积分的本质01 1、圆形的面积 为什么圆的面积公式是Area = πr^2 可以将圆分为无数个宽度相同的同心圆环,这保留了圆的对称性。 将其中一个圆环拉直并思考他的面积 拉直后的图形可以近似看做一个长方形,宽为2πr(根据圆的定义周长公式)高为dr(每一个圆环的宽度),当dr趋近于无限小时,这个图形越趋近于长方形。 所以这个圆环的面积可以近似看做2πrdr(dr越小越准确) 以圆环的半径r为横坐标已圆环的周长为纵坐标,将每个圆环从小到大排布在坐标系上 当dr无限小时,所有圆环的面积之和也就是这个圆形

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【数学】3b1b微积分的本质——微积分的发明过程

1、导论与目录(1) 2、导数的定义与求解 2.1 什么是导数?导数的意义(2) 2.2 用几何来求导(x^n, sin(x) ) (3) 2.3 链式法则和乘积法则(4) 2.4 指数函数求导(5) 2.5 隐函数求导(6) 3、极限的定义与求解(7) 4、积分和微积分基本定理 4.1 积分(8) 4.2 面积与斜率的关系(9) 5、泰勒级数(10)

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