线性代数的本质

矩阵与线性变换

与矩阵相乘，相当于进行一次线性变换。
例如：ABv

• 向量v先进行B形式的线性变换，得到一个向量w
• 向量w再进行A形式的线性变化，得到最终向量。

由此，当改变顺序成为BAv时，即与ABv未必相等

在提取公因式时也应注意

• A²B-2AB = (A²-2A)B √
• A²B-2AB = B(A²-2A) ×

行列式

• 一个矩阵，可以看作是一个线性变换
• 二维的行列式可以看作线性变换改变面积的比例
  由此：det(A) = 0 时，说明从二维空间压缩成一条直线，或者一个点。但det(A) = 0 得不到 A^- 因为不能将线解析成为平面。
  解仍可能存在，此时向量v处在压缩后的线上。
• 线性变换后，如果维度降低，说明此时矩阵的列必然线性相关。
• 行列式可以为负，和定向有关
• 行列式计算直观理解：

Dot Product

每当看到一个（多维）空间列数轴的线性变换时，它都与那个空间中的唯一一个变量相对应。即应用线性变换和与这个向量点乘等价

Cross Product

线性变换过程：

• 通过向量v，和向量w 定义从三维空间到数轴的线性变换
• 找到对偶向量
• 联系

基变换

• 我们的网格 =》 Jennifer网格
• Jennifer语言 =》 我们的语言

特征向量与特征值

• 特征值：衡量特征向量在变换中拉伸或压缩比例的因子
• 属于单个特征值的特征向量可以不在一条直线上
• 线性变换保持向量加法运算和数乘运算

向量是什么