[国家集训队]整数的lqp拆分

最新推荐文章于 2019-10-14 22:01:32 发布

CH_Vaniteux

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分类专栏：数论生成函数

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生成函数

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本文深入探讨了数学序列求和的两种方法，首先通过递推公式解析了序列求和的计算过程，然后引入了生成函数的概念，展示了如何利用生成函数求解序列的通项公式，最终得出了序列的递推式。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

我们的目标是求 $∑∏i=1mFai\sum\prod_{i=1}^m F_{a_i}$

设 $\sum\prod_{j=1}^i F_{a_j}$
那么 $\sum\prod_{j=1}^{i - 1} F_{a_j}$
又有递推式 $\sum_{j = 1}^{i - 1}f(j) * F_{a_i - j}$

那么推吧
$f (i) - f (i - 1)$
$=∑j=1i−1f(j)∗Fai−j−∑j=1i−2f(j)∗Fai−1−j=\sum_{j = 1}^{i - 1}f(j) * F_{a_i - j} - \sum_{j = 1}^{i - 2}f(j) * F_{a_i -1- j}$
$F_{a_1} + \sum\prod_{i=1}^{i - 2} f(j) * (F_{a_i - j} - F_{a_i - 1 - j})$
$\sum\prod_{i=1}^{i - 2} f(j) * F_{a_i - 2 - j}$
$= f (i - 1) + f (i - 2)$

所以 $f (i) = 2 * f (i - 1) + f (i - 2)$

法二：（我觉得巨妙）
设 g[i] 为i的lqp拆分的权值和，则 $g [i] = \sum f [j] * g [i - j] + f [i]$ , 其中 $g [0] = 0, g [1] = 1$
设 $A = ∑f[i] * x^i , B = ∑g[i] * x^i$ ,那么 => $B = A * B + A$
解一下 B ，发现 $B = A / (1 - A)$
又∵ A的闭形式是 $x/(1 - x - x^2)$ [斐波那契数的生成函数闭形式]
∴ $B = x/(1 - 2x - x^2)$ ，于是直接由B的特征根得出g[]的递推式 => $g [i] = 2 * g [i - 1] + g [i - 2]$ .
转自金爷爷哈哈的题解