【LCA】倍增模板

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn = 500005;
int n, m, s;
int cnt = 0;
int head[maxn], deep[maxn], p[maxn][21];
int v[maxn * 2], next[maxn * 2];


void add(int x , int y)
{
    v[cnt] = y;
    next[cnt] = head[x];
    head[x] = cnt++;
}               
void dfs(int u, int fa)
{
    deep[u] = deep[fa] + 1;
    p[u][0] = fa;
    for(int i = 1; (1 << i) <= deep[u]; i++)
        p[u][i] = p[p[u][i-1]][i-1];
    for(int i = head[u]; i != -1; i = next[i])
    {
        if(v[i] != fa)
            dfs(v[i], u);
    }
}                              
int lca(int a, int b)                                         
{
    if(deep[a] > deep[b])
        swap(a, b);      
    for(int i = 20 ; i >= 0; i--)
        if(deep[a] <= deep[b] - (1 << i))
            b = p[b][i];           
    if(a == b)
        return a;              
    for(int i = 20; i >= 0; i--)
    {
        if(p[a][i] == p[b][i])
            continue;
        else
            a = p[a][i];
b = p[b][i];        
    }
    return p[a][0];             
}
int main()
{
    memset(head,-1,sizeof(head));
    int a, b;
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &s);
    for(int i = 1; i < n; i++)
    {
        scanf("%d%d", &a, &b);
        add(a, b);
        add(b, a);                   
    }
    dfs(s, 0);
    for(int i = 1; i <= m; i++)
    {
        scanf("%d%d", &a, &b);
        printf("%d\n", lca(a,b));
    }
    return 0;
}
<think>好的,我现在需要帮助用户找到关于LCA(最近公共祖先)算法的模板代码和实现示例。首先,我得回忆一下LCA的常见解决方法。常见的算法有暴力法、倍增法、Tarjan算法和链剖分等。其中,倍增法是比较常用且效率较高的,适合作为模板代码。 用户提到需要模板代码,所以应该优先考虑提供倍增法的实现。倍增法的核心是预处理每个节点的祖先表,然后通过二进制跳跃来快速找到LCA。我需要确保代码结构清晰,注释详细,方便用户理解。 接下来,我需要参考用户提供的引用内容。用户引用了关于Dijkstra算法的时间复杂度、宏定义、SPFA算法以及状态转移方程的内容。虽然这些引用可能与LCA没有直接关系,但引用[4]提到了状态转移方程fa[x][i] = fa[fa[x][i - 1]][i - 1],这正是倍增法中预处理祖先数组的关键步骤。这说明用户可能已经对倍增法的思路有所了解,或者在其他算法中见过类似的结构,这可以帮助他们理解LCA的实现。 因此,我应该重点解释倍增法的步骤,包括预处理和查询两个部分。预处理部分需要为每个节点建立不同层级的祖先信息,而查询部分则需要将两个节点调整到同一深度,然后共同向上跳跃寻找公共祖先。 在代码实现方面,需要定义父数组fa,深度数组depth,以及预处理时的循环结构。比如,用户引用中的宏定义REP可能用于循环,但考虑到用户可能更习惯标准写法,使用普通的for循环更合适。同时,确保代码中的变量命名清晰,比如fa表示父节点,depth表示节点深度。 另外,用户可能关心时间复杂度和适用场景。根据引用[3],Dijkstra在稠密图上是O(n²),而堆优化后是O(mlogn)。同样,倍增法的时间复杂度是预处理O(nlogn)和每次查询O(logn),适合多次查询的情况,这也是需要指出的。 还要注意代码的正确性,比如在预处理时,需要从根节点开始进行DFS或BFS来初始化每个节点的直接父节点和深度,然后在预处理fa数组时,逐层计算。查询时,处理两个节点到同一深度后,利用二进制跳跃寻找LCA。 最后,生成相关问题需要考虑用户可能的后续疑问,比如如何选择不同算法、优化方法、应用场景等。根据用户提供的示例问题,应该围绕实现细节、复杂度分析、比较其他方法等方面展开。 总结步骤: 1. 介绍LCA问题及常用方法,重点说明倍增法。 2. 提供模板代码,详细注释关键部分,尤其是预处理和查询函数。 3. 解释代码中的关键步骤,如状态转移方程、深度调整、二进制跳跃。 4. 分析时间复杂度和适用情况,引用相关的引用内容辅助说明。 5. 生成相关问题,引导用户深入理解。</think>### LCA(最近公共祖先)算法模板与实现 LCA问题通常通过**倍增法**高效解决,其核心是预处理每个节点的$2^k$级祖先信息,实现$O(\log n)$时间复杂度的查询。以下是基于倍增法的模板代码: ```cpp #include <iostream> #include <vector> #include <cmath> using namespace std; const int MAXN = 1e5 + 5; const int LOG = 20; // 根据最大节点数调整,log2(MAXN) vector<int> tree[MAXN]; // 邻接表存储 int depth[MAXN]; // 节点深度 int fa[MAXN][LOG]; // fa[i][j]表示节点i的2^j级祖先 // 预处理:DFS初始化depth和直接父节点 void dfs(int u, int parent) { fa[u][0] = parent; // 直接父节点 depth[u] = depth[parent] + 1; for (int v : tree[u]) { if (v != parent) { dfs(v, u); } } } // 预处理fa数组(倍增核心) void preprocess(int root, int n) { depth[root] = 0; dfs(root, 0); // 初始化直接父节点 // 状态转移:fa[x][i] = fa[fa[x][i-1]][i-1] for (int j = 1; j < LOG; j++) { for (int i = 1; i <= n; i++) { fa[i][j] = fa[fa[i][j-1]][j-1]; } } } // LCA查询函数 int lca(int u, int v) { // 确保u是更深的节点 if (depth[u] < depth[v]) swap(u, v); // 将u提升到与v同一深度 for (int k = LOG-1; k >= 0; k--) { if (depth[fa[u][k]] >= depth[v]) { u = fa[u][k]; } } if (u == v) return u; // 刚好是祖先的情况 // 共同向上跳跃寻找LCA for (int k = LOG-1; k >= 0; k--) { if (fa[u][k] != fa[v][k]) { u = fa[u][k]; v = fa[v][k]; } } return fa[u][0]; } ``` #### 关键点说明 1. **预处理复杂度**:DFS遍历$O(n)$,倍增数组构建$O(n \log n)$[^4] 2. **查询复杂度**:每次$O(\log n)$,适合多次查询场景 3. **核心操作**:通过二进制跳跃(如$2^0, 2^1, 2^2...$级祖先)快速调整节点深度 #### 应用场景 - 结构中的路径查询(如求两点间最短路径长度) - 网络路由算法中的拓扑分析 - 结合状数组处理动态问题
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