组合数板子(四种)

模板一

范围较小时递推板子:(a,b<2000)支持多组询问 时间复杂度o(N^2)

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
const int N=2010;
int c[N][N];
void init()
{
    for(int i=0;i<N;i++)
    {
        for(int j=0;j<=i;j++)
        {
            if(!j)
                c[i][j]=1;
            else
            {
                c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mod;
            }
        }
    }
}
int main()
{
    init();
    int n;
    cin>>n;
    while(n--)
    {
        int a,b;
        cin>>a>>b;
        cout<<c[a][b]<<endl;
    }
    return 0;
}

模板二

范围(a<=1e6):支持多组询问时间复杂度o(N*logN)

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
const int N=1e5+10;
ll f[N],invf[N];
ll pows(ll a,ll n)
{
    ll ans=1;
    while(n)
    {
        if(n&1)
        {
            ans=ans*a%mod;
        }
        a=a*a%mod;
        n>>=1;
    }
    return ans;
}
void init()
{
    f[1]=1;
    invf[1]=pows(f[1],mod-2);
    for(int i=2; i<N; i++)
    {
        f[i]=f[i-1]*i%mod;
        invf[i]=pows(f[i],mod-2);
    }
}
ll c(ll a,ll b)
{
    return f[a]*invf[a-b]%mod*invf[b]%mod;
}
int main()
{
    init();
    int n;
    cin>>n;
    while(n--)
    {
        ll a,b;
        cin>>a>>b;
        if(a==b)
        {
            cout<<1<<endl;
        }
        else
            cout<<c(a,b)<<endl;
    }
    return 0;
}

模板三

范围 a<1e18 p<1e5;
卢卡斯定理:
C{a,b}同余C{a%p,b%p}*C{a/p,b/p};在modP意义下

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
const int N=1e5+10;
ll p;
ll pows(ll a,ll n)
{
    ll ans=1;
    while(n)
    {
        if (n & 1)
        {
            ans=ans*a%p;
        }
        a=a*a%p;
        n>>=1;
    }
    return ans;
}
ll C(ll a,ll b)
{
    if (b > a)
        return 0;
    ll res=1;
    for(ll i=1,j=a; i<=b; i++,j--)
    {
        res=res*j%p;
        res=res*pows(i,p-2)%p;
    }
    return res;
}
ll lucas(ll a,ll b)
{
    if(a<p&&b<p)
        return C(a,b);
    return (C(a%p,b%p)*lucas(a/p,b/p))%p;
}
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    while(n--)
    {
        ll a,b;
        cin>>a>>b>>p;
        cout<<lucas(a,b)<<endl;
    }
    return 0;
}

模板四

求:C{A,B} 不mod 需要高精度

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
const int N=1e5+10;
int prim[N],cnt;
int st[N];
int sum[N];
void prime()//欧拉筛素数
{
    for(int i=2;i<N;i++)
    {
        if(!st[i])
            prim[cnt++]=i;
        for(int j=0;prim[j]<=N/i;j++)
        {
            st[prim[j]*i]=1;
            if(i%prim[j]==0)
                break;
        }
    }
}
int get(int x,int p)//求素数出现的次数
{
    int res=0;
    while(x)
    {
        res+=x/p;
        x=x/p;
    }
    return res;
}
vector<int> mul(vector<int> a,int p)
{
    vector<int >g;
    int t=0;
    for(int i=0;i<a.size();i++)
    {
        t+=a[i]*p;
        g.push_back(t%10);
        t/=10;
    }
    while(t)
    {
        g.push_back(t%10);
        t/=10;
    }
    return g;

}
int main()
{
    int a,b;
    cin>>a>>b;
    prime();
    for(int i=0;i<cnt;i++)
    {
        int p=prim[i];
        sum[i]=get(a,p)-get(b,p)-get(a-b,p);
    }
    vector<int> res;
    res.push_back(1);
    for(int i=0;i<cnt;i++)
    {
        for(int j=0;j<sum[i];j++)
        {
            res=mul(res,prim[i]);
        }
    }
    for(int i=res.size()-1;i>=0;i--)
    {
        cout<<res[i];
    }
    cout<<endl;
    return 0;
}

<think>好的,我需要回答用户关于DFS板子的问题。首先,用户提到引用了资料中的引用[4],里面有一个C++的DFS函数示例。我需要先理解这个代码的结构和作用。 代码中的函数`dfs(int num, int step)`看起来像是用于生成组合或排列,因为使用了`used`数组来跟踪已使用的元素,并且有参数`num`和`step`。可能是在处理从n个元素中选r个的组合问题,比如全排列或者子集生成。 接下来,用户需要了解DFS板子的相关信息。DFS(深度优先搜索)是一种常见的算法,通常用递归实现,但也可以用栈来迭代。板子通常指的是模板代码,适用于不同的问题,只需稍作修改。 我需要解释DFS的基本原理,然后结合示例代码分析其结构。比如,递归终止条件、每一步的选择、回溯处理等。同时要注意用户提供的代码中的关键点,比如`used`数组的作用,参数的含义,以及如何避免重复访问。 然后,根据用户的要求,需要生成相关问题。这些问题应该围绕DFS的应用场景、优化方法、与BFS的区别、常见错误以及在不同问题中的变体等。 另外,要注意引用用户提供的资料,特别是引用[4]中的代码,并在适当的地方添加引用标识。例如,在分析代码结构时,指出这是来自引用[4]的例子。 最后,确保回答符合系统级指令:使用正确的中文,数学公式用$...$,独立公式用$$...$$,结构清晰,分步骤解释,并生成相关问题。</think>### DFS(深度优先搜索)算法解析 DFS 是一种通过递归或栈实现的搜索算法,其核心是“一条路走到黑,再回溯”的遍历策略。以下是基于引用[4]中代码的板子分析: ```cpp #include<bits/stdc++.h> using namespace std; int used[100]; // 标记数组 int n, r; // 总元素数、选择数 int a[200]; // 存储结果的数组 void dfs(int num, int step) { if (step == r) { // 终止条件:已选够r个元素 for (int i=0; i<r; i++) cout << a[i] << " "; cout << endl; return; } for (int i=num; i<=n; i++) { if (!used[i]) { used[i] = 1; // 标记已使用 a[step] = i; // 记录当前选择 dfs(i+1, step+1); // 递归下一层 used[i] = 0; // 回溯(撤销标记) } } } ``` #### 关键要素解析 1. **终止条件**:`step == r` 时输出结果,对应组合选择完成的状态[^4] 2. **遍历逻辑**:通过`for(i=num; i<=n)`控制遍历范围,避免重复组合 3. **回溯机制**:`used[i]=1`标记选择,递归返回后执行`used[i]=0`撤销标记 4. **参数设计**: - `num`:保证元素按顺序选择(避免出现[1,2]和[2,1]的重复) - `step`:记录当前递归深度/已选元素数量 #### 典型应用场景 1. 全排列生成(需修改遍历逻辑为`for(i=1; i<=n`) 2. 组合问题(如本题的C(n,r)组合) 3. 树形结构遍历(节点访问标记类似`used`数组) 4. 迷宫路径搜索(需增加坐标判断和障碍检测)
评论 2
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值