蓝桥杯真题 - 混乱的数组 - 题解-优快云博客

题目链接：https://www.lanqiao.cn/problems/3550/learning/

个人评价：难度 3 星（满星：5）
前置知识：递归，找规律，组合数

整体思路

首先写出暴力打表代码找出前 $37$ 个逆序数对应的答案数组，尝试找规律（打表代码见下文），尽量取 $x$ 较大的进行观察：

x = 28: 8 7 6 5 4 3 2 1
x = 29: 2 7 6 5 4 3 2 1 1
x = 30: 3 6 5 4 3 2 2 1 1
x = 31: 4 5 4 3 3 2 2 1 1
x = 32: 5 4 4 3 3 2 2 1 1
x = 33: 6 5 4 3 3 2 2 1 1
x = 34: 7 6 5 4 3 2 2 1 1
x = 35: 8 7 6 5 4 3 2 1 1
x = 36: 9 8 7 6 5 4 3 2 1

可以发现，当 $x$ 正好等于 $C_n^2$ 时，恰好是一个长度为 $n$ 的全逆序排列，且此时逆序数最大，其它情况需要满足 $x\geq C_n^2$ ，即 $x\geq\frac{n(n-1)}{2}$ ，解得 $n\geq\frac{1+\sqrt{1+8x}}{2}$ ，由于 $n$ 为整数，所以 $n=\lceil\frac{1+\sqrt{1+8x}}{2}\rceil$ ；
观察中间的情况，从 $x = 29$ 到 $x = 35$ 第一个数字依次递增，等于 $x - C_{n-1}^2 + 1$ （ $n$ 为序列长度）；
从第二个数字开始依次递减，在某个位置变为两个数字两个数字地递减，我们需要找到这个递减的中间位置的规律，其它数字都好计算；
两两递减的序列以 $x = 32$ 为分界， $x\in[29, 32]$ 两两递减序列逐渐变长， $x\in[33,35]$ 两两递减序列逐渐变短；
当 $x-C_{n-1}^2\leq \frac{n-1}{2}$ 时（即 $x\in[29,32]$ ，这里取 $n - 1$ 除以 $2$ 而不是 $n$ 除以 $2$ 是为了与 $n$ 为偶数时的规律统一），后面 $2(x-C_{n-1}^2)$ 个数字从 $1$ 开始倒着往前两两递增，其余数字依次递增；
当 $x-C_{n-1}^2>\frac{n-1}{2}$ 时（即 $x\in[33,35]$ ），后面 $2(C_n^2-x)$ 个数字两两往前倒着递增，其余数字依次递增。

过题代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int maxn = 100000 + 100;
LL n, x, mid;
LL ans[maxn];

int main() {
#ifdef ExRoc
    freopen("test.txt", "r", stdin);
#endif // ExRoc

    cin >> x;

    // 计算数组长度 n
    n = ceil((1 + sqrt(1 + 8 * x)) / 2);
    cout << n << endl;

    // 计算 C_n^2 与 C_{n-1}^2
    LL Cn2 = n * (n - 1) / 2;
    LL Cnn2 = (n - 1) * (n - 2) / 2;

    if (x - Cnn2 <= (n - 1) / 2) {
        // x \in [29, 32] 的情况
        mid = 2 * (x - Cnn2);
    } else {
        // x \in [33, 35] 的情况
        mid = 2 * (Cn2 - x);
    }

    // 两两递增的情况
    for (int i = 1; i <= mid; ++i) {
        ans[i] = (i + 1) / 2;
    }

    // 依次递增的情况
    for (int i = mid + 1; i < n; ++i) {
        ans[i] = mid / 2 + i - mid;
    }

    // 第一位总是递增的
    ans[n] = x - Cnn2 + 1;

    // 以上为代码逻辑方便，逆序放入，这里统一反转数组
    reverse(ans + 1, ans + 1 + n);
    
    // 输出答案
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        cout << ans[i] << " ";
    }
    cout << endl;

    return 0;
}

打表代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int maxn = 100 + 100;
bool flag;
int num[maxn];

// 判断生成的长度为 n 的数组是否恰好有 n 个逆序对
bool judge(int x, int n) {
    int cnt = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = i + 1; j <= n; ++j) {
            if (num[i] > num[j]) {
                ++cnt;
            }
        }
    }
    return cnt == x;
}

// 暴力递归枚举所有可能的数组
void dfs(int depth, int x, int n) {
    if (depth == n + 1) {
        // 找到的第一组就是字典序最小的数组
        flag = judge(x, n);
        if (flag) {
            for (int i = 1; i <= n; ++i) {
                cout << num[i] << " ";
            }
            cout << endl;
        }
        return ;
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        num[depth] = i;
        dfs(depth + 1, x, n);
        // 只要找到第一组，后续就不用再继续搜索了
        if (flag) {
            return ;
        }
    }
}

bool solve(int x, int n) {
    flag = false;
    dfs(1, x, n);
    return flag;
}

void solve(int x) {
    for (int n = 2; n <= 10; ++n) {
        if (solve(x, n)) {
            return ;
        }
    }
}

int main() {
#ifdef ExRoc
    freopen("test.txt", "r", stdin);
#endif // ExRoc

    for (int i = 1; i <= 37; ++i) {
        cout << "x = " << i << ": ";
        solve(i);
    }

    return 0;
}