蓝桥杯真题 - 求和 - 题解

题目链接：https://www.lanqiao.cn/problems/359/learning/

个人评价：难度 3 星（满星：5）
前置知识：乘法分配律，前缀和

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整体思路

• 分析题意可知：需要将颜色相同且下标奇偶性相同的格子提出来，计算 $(x+z)(numbe{r}_x+numbe{r}_z))$，如果将同种颜色但下标奇偶性不同的格子也看成不同的颜色（比如下标为奇数的格子颜色为 $colo{r}_i+m$），则可以先将格子按颜色分类后计算；
• 根据乘法分配律可得：

$$\begin{array}{rl}& \sum _{i=1}^n(x+z_i)(numbe{r}_x+numbe{r}_{z_i})\\ =& nx\cdot numbe{r}_x+numbe{r}_x\sum _{i=1}^n{z}_i+x\sum _{i=1}^{n}numbe{r}_{z_i}+\sum _{i=1}^n{z}_{i}numbe{r}_{z_i}\end{array}$$

• 由以上公式可得：在每种颜色内部，维护三个后缀和即可边枚举 $x$ 的值边 $O(1)$ 计算出每一个求和项的值。

过题代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int maxn = 200000 + 100;
const LL MOD = 10007;

struct Node {
    LL idx, num;
    Node() {}
    Node(LL idx, LL num) : idx(idx), num(num) {}
};

int n, m;
LL ans;
int num[maxn], color[maxn];
vector<Node> G[maxn];
// 三个后缀和，分别为：下标 z_i 的后缀和，number_{z_i} 的后缀和，z_i 与 number_{z_i} 的后缀和
LL idxSum[maxn], numSum[maxn], idxNumSum[maxn];

int main() {
#ifdef ExRoc
    freopen("test.txt","r",stdin);
#endif // ExRoc
    ios::sync_with_stdio(false);

    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        cin >> num[i];
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        cin >> color[i];
        if (i % 2 == 1) {
            // 通过下标奇偶性将同种颜色区分开来，奇数下标认为是一种“新颜色”
            color[i] += m;
        }
        // 同一“新颜色”放在一个数组中处理
        G[color[i]].push_back(Node(i, num[i]));
    }
    m *= 2;
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        int len = G[i].size();
        idxSum[len] = 0;
        numSum[len] = 0;
        idxNumSum[len] = 0;
        // 同一“新颜色”内，预处理后缀和
        for (int j = len - 1; j >= 0; --j) {
            idxSum[j] = (idxSum[j + 1] + G[i][j].idx) % MOD;
            numSum[j] = (numSum[j + 1] + G[i][j].num) % MOD;
            idxNumSum[j] = (idxNumSum[j + 1] + G[i][j].idx * G[i][j].num % MOD) % MOD;
        }
        // 根据公式枚举 x，O(1) 计算答案
        for (int j = 0; j < len - 1; ++j) {
            ans = (ans + G[i][j].idx * G[i][j].num % MOD * (len - j - 1) % MOD) % MOD;
            ans = (ans + G[i][j].idx * numSum[j + 1] % MOD) % MOD;
            ans = (ans + G[i][j].num * idxSum[j + 1] % MOD) % MOD;
            ans = (ans + idxNumSum[j + 1]) % MOD;
        }
    }
    cout << ans << endl;

    return 0;
}