蓝桥杯真题 - 灭鼠先锋 - 题解

题目链接：https://www.lanqiao.cn/problems/2061/learning/

个人评价：难度 3 星（满星：5）
前置知识：组合博弈游戏相关
推荐学习：组合博弈问题：从 dfs 到 SG 函数

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整体思路

1. 该游戏 X 与 O 每一种合法的排列都是唯一确定的状态，在双方采取最优策略情况下，每一种状态都一定处于必胜态或者必败态；
2. 如果一个状态的所有后继状态都是必胜态，则当前状态不论怎么操作都无法获胜，可判断为必败态；如果一个状态存在任何一个必败的后继状态，则只要将当前状态转移到必败态就可以必胜，此时为必胜态；
3. 由于放下最后一个棋子的玩家必败，因此 $8$ 个位置全为 X 的状态是必胜态（即递归判断到最后的终止状态）；
4. 使用一个整数的二进制表示一种状态，某一位为 $0$ 表示对应位置没放棋子，为 $1$ 表示已经放了棋子；为避免重复搜索，使用一个数组来记录状态到必胜、必败态的映射。

过题代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int maxn = 1 << 8;
int dp[maxn];

// 深度优先搜索：状态 status 是否为必胜态，必胜返回 1，必败返回 0
int dfs(int status) {
    // dp 数组初始化为 -1，若值不为 -1 说明之前已经搜索过，可直接取数组内的值返回
    if (dp[status] != -1) {
        return dp[status];
    }
    // 全 X 为必胜终态，无需再递归判断
    if (status == (1 << 8) - 1) {
        return dp[status] = 1;
    }

    // 枚举在每一个可能的位置放棋子
    for (int i = 0; i < 8; ++i) {
        // 放一个棋子的条件：对应位置没放过棋子
        if (((status >> i) & 1) == 0) {
            // 如果存在一个后继状态为必败态，则当前状态为必胜态
            if (dfs(status ^ (1 << i)) == 0) {
                return dp[status] = 1;
            }
        }

        // 下面考虑放 2 个棋子的情况，由于不能横跨两行，所以有两个位置不能放 2 个棋子
        if (i == 3 || i == 7) {
            continue;
        }
        // 同上：用 3 表示连续的两位放棋子，用位运算判断是否可以放棋子
        if (((status >> i) & 3) == 0) {
            // 只要存在一个后继状态为必败态，则当前状态为必胜态
            if (dfs(status ^ (3 << i)) == 0) {
                return dp[status] = 1;
            }
        }
    }

    // 若所有后继状态都为必胜态，则当前状态为必败态
    return dp[status] = 0;
}

char solve(int status) {
    // 传入的是小蓝下了一步棋之后的状态，所以如果当前状态（小乔先手）为必败态，则小蓝必胜
    if (dfs(status) == 0) {
        return 'V';
    }
    return 'L';
}

int main() {
#ifdef ExRoc
    freopen("test.txt", "r", stdin);
#endif
    ios::sync_with_stdio(false);

    // 初始化 dp 数组每一位为 -1，表示未搜索过该状态
    memset(dp, -1, sizeof(dp));
    // 每个数字的二进制位表示对应题目给出的每一种下法
    cout << solve(1) << solve(3) << solve(2) << solve(6) << endl;

	return 0;
}