P2341 [HAOI2006]受欢迎的牛

本文探讨了如何通过图论中的强连通分量概念来解决寻找明星牛的问题,利用Tarjan算法进行求解,并详细解释了明星牛性质与强连通分量之间的联系。

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     如果一个牛,是明星牛,因为喜欢的关系是可以传递的,因此他喜欢的牛也都是明星牛。 反之,以为这只明星牛被所有牛喜欢,那么他喜欢的牛也一定喜欢他,两只牛也一定是相互喜欢的,继续传递下去,下一只牛喜欢的也一定是明星牛,他们之间一定相互喜欢,因此,所有明星牛一定构成一个强连通分量。

     并且,这个强连通分量一定有一个性质,这个强连通分量出度为0,即不存在一个点有一条指向强连通分量外一个点的边,因此定义为出度为0。但是,如果存在两个及以上个数的出度为0的强连通分量,则不可能存在明星牛,因为两个强连通之间永远不会相互喜欢。

     因此整理出思路,首先tarjan找出所有的强连通分量,然后枚举每一个点,如果这个点有一个指向她所在强连通外面的点的边,那么他所在的强连通分量标记为不可取,最后对所有可取的强连通分量计数,超过一个输出0,只有一个输出1,因为明星牛的性质,若满足只有一个强连通出度为0,答案一定存在。

代码如下:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
inline int read(){
    int f = 1, x = 0;char ch = getchar();
    while (ch > '9' || ch < '0'){if (ch == '-')f = -f;ch = getchar();}
    while (ch >= '0' && ch <= '9'){x = x * 10 + ch - '0';ch = getchar();}
    return x * f;
}
const int maxn = 1e5 + 10;
int n,m,tot;
int head[maxn];
int vis[maxn],dfn[maxn],low[maxn],idx;
int belong[maxn],size[maxn],cnt;
int stk[maxn],top;
int res[maxn];
struct _edge { int to,nex;}edge[maxn];
void add(int u,int v){
    edge[tot] = (_edge){v,head[u]};
    head[u] = tot++;
}
void tarjan(int u){
    dfn[u] = low[u] = ++idx;
    stk[++top] = u; vis[u] = 1;
    for (int i=head[u]; ~i; i=edge[i].nex) {
        int v = edge[i].to;
        if (!dfn[v]){
            tarjan(v);
            low[u] = min(low[u],low[v]);
        }else if (vis[v]){
            low[u] = min(low[u],dfn[v]);
        }
    }
    if (low[u] == dfn[u]){
        cnt++;
        while (1) {
            int now = stk[top--];
            belong[now] = cnt;
            size[cnt]++;
            vis[now] = 0;
            if (now == u){
                break;
            }
        }
    }
}
int main(){
 //   freopen("/Users/chutong/data.txt", "r", stdin);
    n = read(); m = read();
    memset(head, -1, sizeof(head));
    for (int i=0; i<m; i++) {
        int u = read(),v = read();
        add(u, v);
    }
    for (int i=1; i<=n; i++) {
        if (!dfn[i]){
            tarjan(i);
        }
    }
    for (int u=1; u<=n; u++) {
        for (int i=head[u]; ~i ; i=edge[i].nex) {
            int to = edge[i].to;
            if (belong[to] != belong[u]){
                res[belong[u]] = 1;
            }
        }
    }
    int cnt1 = 0,ans = 0;
    for (int i=1; i<=cnt; i++) {
        if (res[i] == 0){
            cnt1++;
            ans = size[i];
         //   cout << i << ' ' << ans << endl;
        }
    }
    if (cnt1 > 1) cout << 0 << endl;
    else cout << ans << endl;
    return 0;
}

 

# P2341 [USACO03FALL / HAOI2006] 受欢迎 G ## 题目背景 本题测试数据已修复。 ## 题目描述 每头奶都梦想成为棚里的明星。被所有奶喜欢的奶就是一头明星奶。所有奶都是自恋狂,每头奶总是喜欢自己的。奶之间的“喜欢”是可以传递的——如果 $A$ 喜欢 $B$,$B$ 喜欢 $C$,那么 $A$ 也喜欢 $C$。栏里共有 $N$ 头奶,给定一些奶之间的爱慕关系,请你算出有多少头奶可以当明星。 ## 输入格式 第一行:两个用空格分开的整数:$N$ 和 $M$。 接下来 $M$ 行:每行两个用空格分开的整数:$A$ 和 $B$,表示 $A$ 喜欢 $B$。 ## 输出格式 一行单独一个整数,表示明星奶的数量。 ## 输入输出样例 #1 ### 输入 #1 ``` 3 3 1 2 2 1 2 3 ``` ### 输出 #1 ``` 1 ``` ## 说明/提示 只有 $3$ 号奶可以做明星。 【数据范围】 对于 $10\%$ 的数据,$N\le20$,$M\le50$。 对于 $30\%$ 的数据,$N\le10^3$,$M\le2\times 10^4$。 对于 $70\%$ 的数据,$N\le5\times 10^3$,$M\le5\times 10^4$。 对于 $100\%$ 的数据,$1\le N\le10^4$,$1\le M\le5\times 10^4$。 c++,不要vector,变量名小写5字符以内,需要函数:void Tarjan(int u) { dfn[u] = low[u] = ++num; //初始化结点u的dfn和low值 st[++top] = u; //将结点u压入栈中 vis[u] = 1; //标记u在栈中 for (int i = head[u]; i; i = e[i].nxt) { //枚举u的所有出边 int v = e[i].to; if (!dfn[v]) { //结点v未被访问过,说明是树枝边 Tarjan(v); low[u] = min(low[u], low[v]); } else if (vis[v]) //v在栈中,是返祖边 low[u] = min(low[u], dfn[v]); // } int tmp = 0; if (low[u] == dfn[u]) { //结点u是该连通分量的根 ++cnt; //连通分量数量加一 do { //将当前结点前所有还在栈空间内的结点都归为当前连通分量 tmp = st[top--]; vis[tmp] = 0; color[tmp] = cnt; //将同一个连通分量内的点均标记为相同编号,也可理解为染色 } while(tmp != u); } } set<pair<int, int> > mark;//记录是否连接过 void solution() { //通过tarjan算法将所有连通分量分配编号 for (int i = 1; i <= n; i++) if (!dfn[i]) Tarjan(i); //遍历所有连边,判断相邻两个结点是否所属同一连通分量 for (int u = 1, v; u <= n; u++) { for (int i = head[u]; i; i = e[i].nxt) { v = e[j].to; //当相邻两个结点不属于同一连通分量,则以连通分量编号为点建边 if (color[u] != color[v] && mark[{color[u], color[v]}].find != mark.end()) { link(color[u], color[v]); mark.insert({color[u], color[v]}); } } } }
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