P2341 [HAOI2006]受欢迎的牛

本文探讨了如何通过图论中的强连通分量概念来解决寻找明星牛的问题,利用Tarjan算法进行求解,并详细解释了明星牛性质与强连通分量之间的联系。

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     如果一个牛,是明星牛,因为喜欢的关系是可以传递的,因此他喜欢的牛也都是明星牛。 反之,以为这只明星牛被所有牛喜欢,那么他喜欢的牛也一定喜欢他,两只牛也一定是相互喜欢的,继续传递下去,下一只牛喜欢的也一定是明星牛,他们之间一定相互喜欢,因此,所有明星牛一定构成一个强连通分量。

     并且,这个强连通分量一定有一个性质,这个强连通分量出度为0,即不存在一个点有一条指向强连通分量外一个点的边,因此定义为出度为0。但是,如果存在两个及以上个数的出度为0的强连通分量,则不可能存在明星牛,因为两个强连通之间永远不会相互喜欢。

     因此整理出思路,首先tarjan找出所有的强连通分量,然后枚举每一个点,如果这个点有一个指向她所在强连通外面的点的边,那么他所在的强连通分量标记为不可取,最后对所有可取的强连通分量计数,超过一个输出0,只有一个输出1,因为明星牛的性质,若满足只有一个强连通出度为0,答案一定存在。

代码如下:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
inline int read(){
    int f = 1, x = 0;char ch = getchar();
    while (ch > '9' || ch < '0'){if (ch == '-')f = -f;ch = getchar();}
    while (ch >= '0' && ch <= '9'){x = x * 10 + ch - '0';ch = getchar();}
    return x * f;
}
const int maxn = 1e5 + 10;
int n,m,tot;
int head[maxn];
int vis[maxn],dfn[maxn],low[maxn],idx;
int belong[maxn],size[maxn],cnt;
int stk[maxn],top;
int res[maxn];
struct _edge { int to,nex;}edge[maxn];
void add(int u,int v){
    edge[tot] = (_edge){v,head[u]};
    head[u] = tot++;
}
void tarjan(int u){
    dfn[u] = low[u] = ++idx;
    stk[++top] = u; vis[u] = 1;
    for (int i=head[u]; ~i; i=edge[i].nex) {
        int v = edge[i].to;
        if (!dfn[v]){
            tarjan(v);
            low[u] = min(low[u],low[v]);
        }else if (vis[v]){
            low[u] = min(low[u],dfn[v]);
        }
    }
    if (low[u] == dfn[u]){
        cnt++;
        while (1) {
            int now = stk[top--];
            belong[now] = cnt;
            size[cnt]++;
            vis[now] = 0;
            if (now == u){
                break;
            }
        }
    }
}
int main(){
 //   freopen("/Users/chutong/data.txt", "r", stdin);
    n = read(); m = read();
    memset(head, -1, sizeof(head));
    for (int i=0; i<m; i++) {
        int u = read(),v = read();
        add(u, v);
    }
    for (int i=1; i<=n; i++) {
        if (!dfn[i]){
            tarjan(i);
        }
    }
    for (int u=1; u<=n; u++) {
        for (int i=head[u]; ~i ; i=edge[i].nex) {
            int to = edge[i].to;
            if (belong[to] != belong[u]){
                res[belong[u]] = 1;
            }
        }
    }
    int cnt1 = 0,ans = 0;
    for (int i=1; i<=cnt; i++) {
        if (res[i] == 0){
            cnt1++;
            ans = size[i];
         //   cout << i << ' ' << ans << endl;
        }
    }
    if (cnt1 > 1) cout << 0 << endl;
    else cout << ans << endl;
    return 0;
}

 

关于“受欢迎G”,这是一个经典的算法竞赛题目,主要涉及图论中的连通分量概念。以下是相关信息整理: --- ### 题目背景与描述 “受欢迎G”来源于USACO(美国计算机奥林匹克)的一道经典题目以及HAOI2006的比赛题。题目大意如下:在一个奶群体中,“喜欢”的关系可以传递。例如,若A喜欢B,而B又喜欢C,则A也会间接地喜欢C。已知一群奶之间存在若干直接的“喜欢”关系,目标是找出有多少头奶被所有其他奶都喜欢。 --- ### 解决思路 此问题可以通过以下几种方法解决: #### 方法一:连通分量分解 + 图缩点 1. 构建有向图表示奶间的“喜欢”关系。 2. 对图进行连通分量(SCC)分解,将属于同一个连通分量的所有节点视为一个整体。 3. 缩点后形成一个新的DAG(有向无环图),统计入度为零的节点数。如果只有一个这样的节点,则其对应的连通分量内的所有奶即为答案;否则不存在满足条件的奶。 #### 方法二:Tarjan算法优化 1. 利用Tarjan算法快速找到所有的连通分量。 2. 记录每个连通分量的大小及其与其他分量的关系。 3. 如果整个图中有且仅有一个出度为零的连通分量,则该分量内的所有奶均符合条件。 #### 方法三:Kosaraju算法实现 1. 第一次DFS遍历原图以确定逆序序列。 2. 第二次DFS在反转后的图上运行,标记各个连通分量。 3. 分析结果得出最终结论。 --- ### 示例代码 (Python) 下面是一个简单的参考实现,采用Tarjan算法来解决问题: ```python def tarjan_scc(n, edges): graph = [[] for _ in range(n)] for u, v in edges: graph[u].append(v) stack = [] on_stack = [False] * n index_of = [-1] * n lowlink_of = [-1] * n sccs = [] def dfs(u, idx): nonlocal index_of, lowlink_of, stack, on_stack, sccs index_of[u] = lowlink_of[u] = idx stack.append(u) on_stack[u] = True for v in graph[u]: if index_of[v] == -1: dfs(v, idx+1) lowlink_of[u] = min(lowlink_of[u], lowlink_of[v]) elif on_stack[v]: lowlink_of[u] = min(lowlink_of[u], index_of[v]) if lowlink_of[u] == index_of[u]: scc = [] while True: w = stack.pop() on_stack[w] = False scc.append(w) if w == u: break sccs.append(scc) for i in range(n): if index_of[i] == -1: dfs(i, 0) return sccs # 输入样例 n = 5 edges = [(0, 1), (1, 2), (2, 0), (1, 3), (3, 4)] # 调用函数 result = tarjan_scc(n, edges) print(result) # 输出连通分量列表 ``` --- ### 注意事项 - 连通分量的概念适用于有向图。 - 若输入数据规模较大,建议选择高效的算法如Tarjan或Kosaraju。 - 实际应用时需要注意边的方向是否正确设置。 ---
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