19、马尔可夫再生模型的迭代分析与非马尔可夫随机 Petri 网研究

马尔可夫再生模型的迭代分析与非马尔可夫随机 Petri 网研究

迭代算法介绍

对于马尔可夫再生过程（MRPs），有一种纯迭代的求解方法，它分为两个阶段。在外部迭代中求解嵌入马尔可夫链（EMC），其随机矩阵 $P$ 无需显式计算，因为其结构在矩阵层面是已知的。在内部迭代中，对 EMC 的当前解向量应用均匀化方法。

外部迭代中，使用幂方法计算 EMC 的平稳解 $u$：
$u(m + 1) = u(m)P$

$u(0)$ 是合适的起始向量，例如根据初始标记的初始分布、所有标记上的离散均匀分布，或者从随机数生成器获得的归一化向量。迭代可以在不显式使用随机矩阵 $P$ 的情况下进行。将 $P$ 的已知结构代入幂方法的迭代公式可得：
$u(m + 1) = u(m)P = u(m)(I - diag^{-1}(Q_E)Q_E + \Omega\Delta + \Psi\overline{Q}) = u_E(m) - u_E(m)diag^{-1}(Q_E)Q_E + u_G(m)\Omega\Delta + u_G(m)\Psi\overline{Q}$

定义向量 $a(m)$ 和 $b(m)$ 为：
$a(m) = u_G(m)\Omega = \sum_{g\in G}u_g(m)\Omega_g$，$b(m) = u_G(m)\Psi = \sum_{g\in G}u_g(m)\Psi_g$

则得到迭代公式：
$u(m + 1) = u_E(m) - u_E(m)diag^{-1}(Q_E)Q_E + a(m)\Delta + b(m)\overline{Q}$

每次应用该公式都需要计