29、非遍历马尔可夫再生过程的基于组件的求解方法

非遍历马尔可夫再生过程的基于组件的求解方法

1. 引言

马尔可夫再生过程（MRP）是一类具有指数和一般转移的随机过程，且在任何时候最多只能启用一个一般转移。一般转移是一个连续随机变量，只需满足一些小的限制条件。在某些特定情况下，一般转移对应于一个确定的持续时间。

在许多场景中都需要求解马尔可夫再生过程。例如，具有确定持续时间的MRP是确定性随机Petri网（DSPN）的基础随机过程，前提是在网的任何可达状态中最多只能启用一个确定性转移。本文聚焦于非遍历MRP，这类过程出现在具有死锁状态的DSPN中，近年来在随机逻辑及其相关的模型检查算法中受到了关注。

经典的MRP稳态求解方法可分为显式和隐式两种：
- 显式方法 ：显式计算嵌入马尔可夫链（EMC）矩阵P，然后使用标准线性代数方法（如对称超松弛法SOR）求解。对于EMC中的每一行，都需要对一个从属马尔可夫链（SMC）进行瞬态分析。这种方法在状态和空间上的成本显著，且空间通常是瓶颈，因为EMC通常是稠密的。
- 隐式方法 ：使用修改后的幂法迭代来获得EMC解，而无需显式计算EMC矩阵。这种方法由R. German开创，最近已被扩展以适用于非遍历情况和除幂法之外的迭代方案。

本文提出的稳态求解方法称为分解（稳态）解，其灵感来源于观察到，特别是在CSLTA的模型检查中，MRP常常呈现出一种“顺序结构”，主要特征是过程的初始瞬态演化，可用于优化求解过程。而经典的求解方法在存在顺序结构时，复杂度并没有降低。

在分解解中，首先进行结构分析，以确定由强连通分量（SCC）组成的有向无环图，这些分量可以是简单的连续时