[BZOJ2039][2009国家集训队]employ人员雇佣（最小割）

最新推荐文章于 2021-09-30 18:30:22 发布

_Mocha_

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分类专栏：最小割

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本文介绍了一种使用最小割算法解决经理雇佣问题的方法，旨在最大化净利润。通过构建特定的图模型，利用dinic算法求解最大流，进而转换为最小割问题，最终实现最优选择。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

传送门：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2039

Description
作为一个富有经营头脑的富翁，小L决定从本国最优秀的经理中雇佣一些来经营自己的公司。这些经理相互之间合作有一个贡献指数,（我们用Ei,j表示i经理对j经理的了解程度），即当经理i和经理j同时被雇佣时，经理i会对经理j做出贡献，使得所赚得的利润增加Ei,j。当然，雇佣每一个经理都需要花费一定的金钱Ai，对于一些经理可能他做出的贡献不值得他的花费，那么作为一个聪明的人，小L当然不会雇佣他。然而，那些没有被雇佣的人会被竞争对手所雇佣，这个时候那些人会对你雇佣的经理的工作造成影响，使得所赚得的利润减少Ei,j（注意：这里的Ei,j与上面的Ei,j 是同一个）。作为一个效率优先的人，小L想雇佣一些人使得净利润最大。你可以帮助小L解决这个问题吗？

Input
第一行有一个整数N<=1000表示经理的个数第二行有N个整数Ai表示雇佣每个经理需要花费的金钱接下来的N行中一行包含N个数，表示Ei,j，即经理i对经理j的了解程度。（输入满足Ei,j=Ej,i）

Output
第一行包含一个整数，即所求出的最大值。

Sample Input

Sample Output

【数据规模和约定】
20%的数据中N<=10
50%的数据中N<=100
100%的数据中 N<=1000， Ei,j<=maxlongint, Ai<=maxlongint

可以说是非常经典的最小割问题了，这种有取舍收益的题可以考虑转化成最小割来做。
原理是：先不管取舍，算上所有收益，然后再进行割边减去部分权值，得到最小的割，割完以后和st相连的是要选取的，和ed相连的是不选取的，割表示损失的部分。用总收益-最小割可得有取舍的最大收益。总体思路和最大权闭合子图有点像哈。。
具体的建图就是st->i连边，权值为选i能获得的总收益，也就是 $\sum_{j=1}^{j<=n}E[i][j]$ ，代表如果选他可以的得到这么多。然后两两经理建边即i->j建边权值为2*E[i][j]，代表假如我们当前在i如果我们不选j我们不能获得j给我们带来的利益E[i][j]同时还要损失E[i][j]（被竞争对手雇佣）。最后i->ed连边权值为a[i]，注意不是负权，为什么呢，因为与和st相连代表我们要选取的，那么要付出a[i]的佣金，如果选i那么最小割会割掉中间那条边使得st和ed在这条路上不连通，相当于付出了a[i]啦。

code:

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL M=1e17;
struct node
{
    int x,y,next,other;
    LL c;
}a[2100000]; int len,last[2100000];
int st,ed;
inline void ins(int x,int y,LL c)
{
    int k1,k2;
    len++; k1=len;
    a[len].x=x;a[len].y=y;a[len].c=c;
    a[len].next=last[x];last[x]=len;
    len++; k2=len;
    a[len].x=y;a[len].y=x;a[len].c=0;
    a[len].next=last[y];last[y]=len;
    a[k1].other=k2;
    a[k2].other=k1;
}
int list[2100000],head,tail,h[11000];
inline bool bfs()
{
    memset(h,0,sizeof(h)); h[st]=1;
    list[1]=st,head=1,tail=2;
    while(head!=tail)
    {
        int x=list[head];
        for(int k=last[x];k;k=a[k].next)
        {
            int y=a[k].y;
            if(a[k].c>0 && h[y]==0)
            {
                h[y]=h[x]+1;
                list[tail++]=y;
            }
        }
        head++;
    }
    if(h[ed]>0) return true;
    else return false;
}
inline LL findflow(int x,LL f)
{
    if(x==ed) return f;
    LL s=0,t;
    for(int k=last[x];k;k=a[k].next)
    {
        int y=a[k].y;
        if(a[k].c>0 && h[y]==h[x]+1 && s<f)
        {
            t=findflow(y,min(f-s,a[k].c));
            s+=t; a[k].c-=t; a[a[k].other].c+=t;
        }
    }
    if(s==0) h[x]=0;
    return s;
}
LL dinic()
{
    LL s=0;
    while(bfs())
    {
        s+=findflow(st,M);
    }
    return s;
}
LL w[1100],ez[1100];
int main()
{
    int n;scanf("%d",&n);
    len=0;memset(last,0,sizeof(last));
    st=n+1,ed=st+1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lld",&w[i]);
        ins(i,ed,w[i]); 
    }
    LL sum=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            LL x;
            scanf("%lld",&x);
            if(i==j) continue;
            ez[i]+=x;
            sum+=x;
            ins(i,j,2*x);
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) ins(st,i,ez[i]);
    printf("%lld\n",sum-dinic());
    return 0;
}