2023“钉耙编程”中国大学生算法设计超级联赛（3） Out of Control

原创已于 2023-07-28 10:26:22 修改 · 344 阅读

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#算法 #动态规划

于 2023-07-26 11:16:09 首次发布

文章描述了一种解决非递减序列构造问题的方法，使用动态规划的思路，定义dp[i][j]为从前i个数中选j个且以a[i]结尾的合法序列的个数。通过两种情况讨论，一是将a[i]加到最大值小于a[i]的序列上，二是找到序列中的最大值并添加小于等于a[i]的数。算法涉及到序列的离散化处理和状态转移方程的计算。

根据题目定于，长度为k的一种合法序列，应该是非递减的，与上升子序列类似。我们可以这样定义状态。dp[i][j]: 从前i个数中选j个，且以a[i]结尾的合法序列的个数。可以分成一下两类讨论。

1.此时我们是把a[i]加到最大值严格小于a[i]构成的合法序列上的。设k < i, 则dp[i][j] = Σdp[k][j - 1]；这里我们可以提前算好Σdp[k][j - 1]，可以节省一维的时间。

2.形如1 2 5 2这个序列在该题的规则下的状态应该是1 2 5 5，也就是我们找出了此时序列的最大值，我们想在最后一个位置，添加一个a[i], 那么我们可以添加一个小于等于a[i]的数，那么它就会变成a[i]，那么这种情况可以发生的前提就是小于等于a[i]的个数cnt此时应该要够，用状态表示就是此时是选出了j个数，那么允许发生j个数的前提就是cnt[a[i]] >= j，那么这样的j是被允许构造出来的。

详见代码部分。由于题目数据较大，需要离散化再去做。

#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define int LL
#define INF 0x3f3f3f3f
#define PII pair<int,int>
#define kanm7 ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0)
#define endl '\n'
using namespace std;
const int N = 3010, mod = 1e9 + 7;
int dp[N][N], sum[N][N];
int a[N];
int cnt[N];
int n;

void solve() {
    cin >> n;
    vector<int> v;
    for(int i = 0; i <= n; i ++) {
        cnt[i] = 0;
        for(int j = 0; j <= n; j ++) {
            dp[i][j] = 0;
            sum[i][j] = 0;
        }
    }
    for(int i = 1; i <= n; i ++) {
        cin >> a[i];
        v.push_back(a[i]);
    }
    sort(a + 1, a + 1 + n);
    sort(v.begin(), v.end());
    v.erase(unique(v.begin(), v.end()), v.end());
    int m = v.size();
    for(int i = 1; i <= n; i ++) {
        auto t = lower_bound(v.begin(), v.end(), a[i]) - v.begin() + 1;
        cnt[t] ++;
    }
    for(int i = 1; i <= m; i ++) cnt[i] += cnt[i - 1];
    for(int i = 0; i <= m; i ++) sum[i][0] = 1;
    for(int i = 1; i <= m; i ++) {
        for(int j = 1; j <= n; j ++) {
            if(cnt[i] >= j) {
                dp[i][j] += dp[i][j - 1];
                dp[i][j] %= mod;
            }
            dp[i][j] += sum[i - 1][j - 1];
            dp[i][j] %= mod;
            sum[i][j] = dp[i][j] + sum[i - 1][j];
            sum[i][j] %= mod;
            // cout << i << ' ' << j << ' ' << dp[i][j] << endl;
        }
    }
    for(int i = 1; i <= n; i ++) {
        cout << sum[m][i] << endl;
    }
}

signed main() {
    kanm7;
    int T; cin >> T;
    while(T --) {
        solve();
    }
    return 0;
}

/*
    for(int k = 1; k <= n; k ++) { // 枚举长度
        for(int j = k;)
    }z
*/