[洛谷 P5633] 最小度限制生成树（WQS 二分） | 错题本

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#WQS 二分

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题目

[洛谷 P5633] 最小度限制生成树

分析

给 s s s 的邻接边弄一个 Δ \Delta Δ 值加在边权上，然后做最小生成树，易知 Δ \Delta Δ 越大， s s s 的度越小，因此可以 WQS 二分。实现把 s s s 的邻接边和非邻接边分别排好序，做的时候归并即可。

代码

#include <bits/stdc++.h>

int Read() {
   
   
	int x = 0; bool f = false; char c = getchar();
	while (c < '0' || c > '9')
		f |= c == '-', c = getchar();
	while (c >= '0' && c <= '9')
		x = x * 10 + (c ^ 48), c = getchar();
	return f ? -x : x;
}

typedef std::pair<int, int
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P2619 [国家集训队]Tree I（WQS二分/带权二分/最小生成树）
xajd1906的博客
03-01 300
P2619 [国家集训队]Tree I 给定一个n个点，m条边的无向图，每条边有一个颜色黑色或者白色，求解恰好有k条白色边的最小生成树。 那么看到恰好选择k个的最优性问题，我们可以利用WQS二分解决，实际上就是利用了对于每个选择个数对应的最小值看作是平面上的点，它满足凸性，考虑二分一个直线来切这个凸包，对于每个点有b=g(x)−kxb=g(x)-kxb=g(x)−kx然后相当于给每个物品减去k的大小，然后求解最小值。 注意一些问题，就是比如有斜率相同的一段，那么我们无论怎么二分也无法恰好达到，但是我们可以二
BZOJ2654——WQS二分+最小生成树
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05-08 987
Description 给你一个无向带权连通图，每条边是黑色或白色。让你求一棵最小权的恰好有need条白色边的生成树。 题目保证有解。 Input 第一行V,E,need分别表示点数，边数和需要的白色边数。 接下来E行,每行s,t,c,col表示这边的端点(点从0开始标号)，边权，颜色(0白色1黑色)。 Output 一行表示所求生成树的边权和。 V&lt;=50000,E&lt;...
洛谷P5633 最小度限制生成树 题解
q779的博客
06-17 384
wqs二分好题 qwq
P5633 最小度限制生成树
Ayanami_Rei的博客
04-29 814
kruskal重构树
P5633 最小度限制生成树 题解
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ShiRoZeTsu
05-05 987
洛谷 P5633 最小度限制生成树 题解
度数K限制的最小生成树
jziwjxjd的博客
11-22 537
传送门 k_thk\_thk_th度的最小生成树 #include <iostream> #include <cstring> #include <algorithm> #include <queue> #include <map> #include <utility> #include <cstdio> using namespace std; const int N = 32; const int inf = 1e9;
【wqs二分】【洛谷P4383】[八省联考2018]林克卡特树
Brute♂force
01-20 421
题目 https://www.luogu.com.cn/problem/P4383 思路 先考虑60分DP 可以发现删完边后面那个操作是没什么意义的。题意转换成将一棵树分成k+1个联通块，其直径之和的最大值 那么考虑设 fi,jf_{i,j}fi,j​ 为以 iii 为根的子树选了 jjj 条链的最大值。 但是发现这样转移不了。 考虑一下链的性质，对于每个点，它的度数最多为2，所以我们在前面加多一维表示度数。 转一个时候枚举度数暴力转移就好啦。 然后……好像状态不能再减少了呢……那只能考虑单调性了。 假如你
P2619 [国家集训队]Tree I(wqs二分)
Harris-H的博客
04-11 691
P2619 [国家集训队]Tree I(wqs二分) wqs是一个大佬，wqs二分是基于 凸包型的问题，斜率的二分。 本题设(x,g(x))(x,g(x))(x,g(x)) 表示恰好选择xxx条白边，对应最小MST的权值和g(x)g(x)g(x)。 可以用平方的dp 证明该函数形状是个下凸的。 然后就可以上wqs二分了。 我们二分增量，也就是直线的斜率，在本题就是所有白边权值的增量。 然后用Kruskal找到最优值ansansans，显然我们可以同时求出对应的白边的数量x′x'x′。 如果x′≥needx
浅谈WQS二分
yyh_getAC的博客
11-05 614
考虑 m+1 时的答案，分为两种情况：1. 会改变 m 时的选取情况，我们将选或不选的情况用 01 串来表示，那么只有可能将一个类似 01010 的串改成 10101 的串，显然这样的改变的增量会越来越小， 即。，判断切点于 m 的关系，如果切点在 m 的左侧，则说明斜率大了，那么缩小二分上界；2. 不会改变 m 时的选取情况，即选一个全新的位置，那么该位置的价值显然小于 m 时选取的价值，所以依旧满足。可以发现随着斜率 k 的单调递减所得到的切点的横坐标单调递增，而上图 k=k2 时，所得到的切点为。
洛谷4983 忘情（WQS二分）（斜率优化）
A_Bright_CH的博客
11-05 1033
题目 洛谷4983 忘情 代码 WQS二分+斜率优化 公式简化看这https://www.luogu.org/blog/xnzy1314/wang-qing-ti-xie-post 其他就很套路了，只要在f转移时加上一个mid。我用c来记录选了多少个（x坐标），所以最后判断c[n]与m的大小关系，如果c[n]小了，则要选多一点，即mid要小一些。 据说还可以用四边形不等式来做，%%%htt...
poj1639（最小K度生成树）
Keep_Trying_Go的博客
05-11 453
即最小k+1度限制生成树属于最小k度限制生成树的邻集。 既然知道了最小k度限制生成树，求解最小k+1度限制生成树的步骤： 方法一：枚举法 （1）可知最小k+1度限制生成树属于最小k度限制生成树，因此可以通过枚举最小k度限制生成树上的一次可行解。 （2）为了使V0的度增加，枚举的可行解中必须有一条边与V0关联。 （3）假设我们已经得到了一棵最小生成树。 （4）现在枚举V0关联且不在树上边，分别添加到树上。 （5）添加边之后，会形成环，则删除边的权值越大的，所得到的生成树的权值和就越小，因此需要删除权值最大的边
【luogu P2619】Tree I（wqs二分）（最小生成树）
欢迎您的光顾awa
02-14 227
给你一无向连通图有黑白两种边，然后每个边有边权，要你找一个权值和最小的生成树使得恰好有 x 条白边，然后保证一定有解。
浅谈wqs二分
lahlah的博客
09-16 1125
论文 浅析一类二分方法 算法讲解 例题 首先不考虑限制是一个很简单的斜率优化板子 加上kkk之后再用斜率优化就是O(nk)O(nk)O(nk)的 如果k,nk,nk,n同阶显然做不了 考虑怎么优化这个问题 这个时候就要用wqs二分了 wqs二分 设f(k)f(k)f(k)表示分成kkk段的答案 通过打表严格证明可以发现(x,f(x))(x,f(x))(x,f(x))是个凸壳 （斜率单调） 先假设这是个上凸壳 二分一个midmidmid，表示直线的斜率 然后用这条直线去切这个凸壳，假设交点为(x,f(x))
最小度限制生成树
imonedj的博客
08-10 762
求解方法 1，除去有限制的点v0以及和它相连的边,此时的图可能不连通。对于各个连通分量分别求最小生成树。如果连通块的数量超过了限制的度数，那么这些连通块显然不能连通。这个条件下，问题无解。 2，选出各联通块与限制点相连权值最小的边与限制点相连，保证所有点连通 3，假设完成2操作后限制点的度已经为d，循环limit-d次，每次先求出从限制点到各点的路径上的边的最大权值。然后遍历所有与限制点相连...
最小K度限制生成树
commonc的博客
01-16 2186
算法目的：给出V0,KV_{0},K和一个带边权的无向图，求出在V0V_{0}的度数最多为KK的限制下的最小生成树预备知识：最小生成树、动态规划定义：强制K度最小生成树为所有生成树中V0V_{0}的度数为KK的权值最小的生成树大概思路：先把V0V_{0}和V0V_{0}有关的边都删除，假设现在的图分成了MM个联通块，则我们可以得知对于任何生成树V0V_{0}的度数至少为MM。那么我们依次求出强制M度
一种优化带限制最优值动态规划的方法——wqs二分
某蒟蒻的博客
10-19 888
一种优化带限制最优值动态规划的方法 前言 今年icpc南京站出了这么一道题。 一条轴上有n个点，每个点上有一个人。你要建最多k个商店，每个点上的人会去最近的商店，求每个人运动的距离和的最小值。 这东西显然满足决策单调性，一眼想到O(n*k)做法，然后发现n和k都是1e5级别的，遂gg。 所以本菜鸡队在南京站就7题滚粗了，最后挂机一小时，勉强拿了个金。 后来问了某dalao，某dalao不屑地表示，...
模板题（后缀数组的理解） | 错题本
ixRic
07-20 1088
文章目录题目分析代码 题目 题目描述 小苗在学习字符串。在以下说明中，我们仅考虑由小写字母构成的串。 很不幸的是，小苗在学习 suffix array 时把概念记错了：现在她认为数组 sa 的互逆数组是原串 SSS，然而 sa 的互逆数组应该是 rank : (。 为了帮助小苗同学，现给定一字符串 SSS ，请你判断是否存在 TTT ，使得 SSS 与 TTT 的 sa 数组相同，且 TTT 的字典序比 SSS 小。 具体来说，sa 是一个一维数组，它保存从 111 到 nnn 的某个排列 ，并且对于 1≤
[AtCoder ARC058C] 和風いろはちゃん / Iroha and Haiku（Hash + 状压 DP） | 错题本
ixRic
07-30 726
文章目录题目分析错因代码 题目 [AtCoder ARC058C] 和風いろはちゃん / Iroha and Haiku 分析 显然只用存末尾的一段和小于等于 171717 的状态，先深搜一波。 #include <algorithm> #include <cstdio> #include <cstring> int tot; void Dfs(int sum) { if (sum > 17) return; tot++; for (int i = 1
DP凸优化/WQS二分/带权二分
03-31
### 动态规划中的凸优化 动态规划（Dynamic Programming, DP）是一种通过分解子问题来解决复杂问题的方法。然而，在某些情况下，标准的动态规划方法可能效率较低，因此引入了凸优化技术以加速计算过程。当状态转移方程具有单调性和凸性时，可以利用这些性质进一步减少时间复杂度。 #### 凸优化的核心思想 如果一个问题的状态转移函数满足某种形式的凸性条件，则可以通过维护决策点集合的方式降低每次更新的时间开销。具体来说，对于形如 \( dp[i] = \min_{j} (dp[j] + cost(i,j)) \) 的状态转移方程，其中 \( cost(i,j) \) 是关于 \( j \) 单调或者呈现特定形状的函数，那么可以用斜率优化等技巧提高性能[^1]。 ```python def convex_optimization_dp(n, costs): """ 使用凸优化处理动态规划问题的一个简单例子。 参数: n: 状态数量 costs: 成本数组 返回: 最优解的结果列表 """ dp = [0] * (n + 1) deque = [] for i in range(1, n + 1): while len(deque) >= 2 and slope(deque[-2], deque[-1]) <= -costs[i]: deque.pop() k = deque[0] dp[i] = dp[k] + costs[i] * (i - k) while len(deque) >= 2 and cross_product(deque[-2], deque[-1], i) <= 0: deque.pop() deque.append(i) return dp[n] def slope(x, y): """ 计算两点之间的斜率 """ return (f(y) - f(x)) / (y - x) def cross_product(a, b, c): """ 判断三点共线情况下的叉积方向 """ return (b-a)*(g(c)-g(b))-(c-b)*(g(b)-g(a)) ``` --- ### WQS二分算法详解 WQS二分（Weighted Queue Sliding Binary Search）主要用于求解带有额外约束条件的最优化问题。它通常应用于组合优化领域，尤其是涉及分配资源或物品的情况下。其核心在于调整目标函数中的权重参数，使得最终方案既满足约束又达到全局最优。 #### 实现细节 假设我们有一个背包容量为C的商品集S={a_1,a_2,...,a_n},每件商品有重量w_i和价值v_i，并且存在一个附加限制——最多只能选K件商品。此时可以直接采用如下策略： 1. 定义辅助变量λ作为惩罚因子； 2. 构造新的效用函数F'(x)=Σ(v_i-w_i*λ)，并尝试最大化该表达式的值； 3. 调整λ直至选出恰好k个元素为止； 这种方法能够有效应对多种变体问题，比如多重背包、区间覆盖等问题。 ```python from bisect import insort_right def wqs_binary_search(items, capacity, max_count): low, high = min(item['weight'] for item in items), sum(item['value']/item['weight'] for item in items) def check(lambda_val): total_weight = 0 count = 0 sorted_items = sorted((item['value'] - lambda_val * item['weight'], idx) for idx,item in enumerate(items)) res = [] current_sum = 0 for val,idx in reversed(sorted_items[:max_count]): if total_weight + items[idx]['weight']<=capacity: total_weight +=items[idx]['weight'] current_sum+=val+lambda_val*items[idx]['weight'] insort_right(res,(current_sum,-total_weight)) best=next(iter(res or [(float('-inf'),)]))[0] return best>=sum(itm['value']for itm in items[:len(res)])and(best,total_weight)==res[-1] eps = 1e-7 while abs(high-low)>eps: mid=(low+high)/2. flag=check(mid) if not flag: low=mid else: high=mid opt_lambda=(low+high)/2. _,solution=check(opt_lambda) return solution,opt_lambda ``` --- ### 带权二分的应用场景 带权二分本质上是对传统二分查找的一种扩展，允许我们在搜索过程中考虑不同选项的重要性差异。这种技术广泛用于图论、网络流等领域，特别是在寻找最小割/最大流路径时非常有用。 例如，在Dijkstra算法中加入优先级队列支持负边权的情况就是一种典型实例。通过对节点间距离赋予适当权重系数，我们可以更灵活地控制寻路行为，从而适应更多实际需求。 ```python import heapq def dijkstra_with_weights(graph, start_node, weight_func=lambda u,v,w:w): distances = {node : float('infinity') for node in graph} previous_nodes = {} pq = [] distances[start_node]=0 heapq.heappush(pq,[distances[start_node],start_node]) while pq: curr_dist,node=heapq.heappop(pq) if curr_dist>distances[node]: continue for neighbor,edge_weight in graph[node].items(): distance=curr_dist+weight_func(node,neighbor,edge_weight) if distance<distances[neighbor]: distances[neighbor]=distance previous_nodes[neighbor]=node heapq.heappush(pq,[distance,neighbor]) return distances,previous_nodes ``` ---
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