模板题（后缀数组的理解） | 错题本

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#后缀数组

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后缀数组

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本文探讨了使用Suffix Array来比较两个字符串的字典序，并通过分析字符串SSS和TTT的Suffix Array，判断TTT是否比SSS字典序小且具有相同的Suffix Array。文章详细解释了如何通过枚举和修改字符串中的字符来解决这一问题。

文章目录

题目
分析
代码

题目

题目描述

小苗在学习字符串。在以下说明中，我们仅考虑由小写字母构成的串。

很不幸的是，小苗在学习 suffix array 时把概念记错了：现在她认为数组 sa 的互逆数组是原串 $S$ ，然而 sa 的互逆数组应该是 rank : (。

为了帮助小苗同学，现给定一字符串 $S$ ，请你判断是否存在 $T$ ，使得 $S$ 与 $T$ 的 sa 数组相同，且 $T$ 的字典序比 $S$ 小。

具体来说，sa 是一个一维数组，它保存从 $1$ 到 $n$ 的某个排列，并且对于 $\leq i < n$ ，保证 $S[sa_i\dots n]$ 的字典序小于 $S[sa_{i+1}\dots n]$ 的字典序。

输入格式
一行一个字符串 $S$ 。保证仅由小写字母构成。

输出格式
如果存在相应的 $T$ ，则输出 Exists；否则输出 Does not exist。

你需要保证对应的 $T$ 也由小写字母构成。

输入输出样例

输入 #1
abc
输出 #1
Exists
输入 #2
aba
输出 #2
Does not exist
输入 #3
examplesareveryweakthinktwicebeforesubmit
输出 #3
Exists
输入 #4
nefbgnpckkldfmadajifplcgngooiamrdiahkdgqjjbac
输出 #4
Does not exist
输入 #5
bbnelcjqcigsdajojgerfegafcvjffcrblpfbtmbocc
输出 #5
Exists

说明/提示
设 $S$ 的长度为 $n$ ，对于所有子任务，有 $\leq 50$ 。

subtask 1 (20 points)： $\leq 3$ ；
subtask 2 (20 points)： $\leq 7$ ；
subtask 3 (30 points)： $S$ 仅包含 a、b 两种字符；
subtask 4 (30 points)：无任何特殊限制。

分析

性质是， $T$ 与 $S$ 最多相差一个字符。因此我们枚举 $S$ 中的一个不为 a 的字符并将其减一得到 $T^{'}$ ，再判断 $S$ 与 $T^{'}$ 的 sa 是否相同即可。

证明：我们只需证明，如果 $S$ 改变一个字符无法做到 sa 相同，那么改变更多的也不能做到 sa 相同。考虑我们已知 $S$ 的 sa 数组 $s a$ ，则 rank 数组 $r k$ 也可以得到。对于任意一个 $\leq i < n$ ，假设越界的地方 $r k$ 为 $0$ ，有 $S[sa_i] < S[sa_{i + 1}] \ 或 \ (S[sa_i]=S[sa_{i + 1}] \ 且 \ rk[sa_i + 1] < rk[sa_{i + 1} + 1])$ 于是有 $\begin{cases} S[sa_i] < S[sa_{i + 1}], & (rk[sa_i + 1] \geq rk[sa_{i + 1} + 1]) \\ S[sa_i] \leq S[sa_{i + 1}], & (rk[sa_i + 1] < rk[sa_{i + 1} + 1])\end{cases}$ 于是我们可以根据 $S$ 的 $r k$ 确定出以 $T$ 的 $n$ 个字符为未知数的 $n - 1$ 个不等式，如果 $T$ 的每个字符都满足这个不等式，则 $T$ 的 sa 与 $S$ 的 sa 相等。同时可以看出，更改一个字符只会影响两个不等式，更改更多的字符会影响更多的不等式，所以显然更改一个字符是“最有可能”使 $T$ 与 $S$ 的 sa 相同的。

这道题可以暴力求 sa。
当然，有了上面那个不等式我们也可以不用每次对 $T$ 都重新算 sa，直接判断会影响到的那个不等式即可。

这个 $n$ 元的不等式组感觉会很有用，比如说可以根据一个 sa 数组求出字典序最小的原串。

代码

纯暴力：

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <cstring>
#include <vector>

const int MAXN = 50;

int N;
char S[MAXN + 5], T[MAXN + 5];
int SA1[MAXN + 5], SA2[MAXN + 5];

std::vector<std::string> Suf;

void GetSA(char *str, int *sa) {
	Suf.clear();
	for (int i = 1; i <= N; i++) {
		std::string tmp;
		for (int j = i; j <= N; j++)
			tmp += str[j];
		Suf.push_back(tmp);
	}
	std::sort(Suf.begin(), Suf.end());
	for (int i = 0; i < int(Suf.size()); i++)
		sa[i + 1] = N - Suf[i].length() + 1;
}

int main() {
	scanf("%s", S + 1);
	N = strlen(S + 1);
	GetSA(S, SA1);
	memcpy(T, S, sizeof S);
	for (int i = 1; i <= N; i++) {
		if (S[i] != 'a') {
			T[i] = S[i] - 1;
			GetSA(T, SA2);
			bool res = true;
			for (int j = 1; j <= N && res; j++)
				if (SA1[j] != SA2[j])
					res = false;
			if (res)
				return puts("Exists"), 0;
			T[i] = S[i];
		}
	}
	puts("Does not exist");
	return 0;
}

半暴力：

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <cstring>
#include <vector>

const int MAXN = 50;

int N;
bool P[MAXN + 5];
char S[MAXN + 5];
int SA[MAXN + 5], Rank[MAXN + 5];

std::vector<std::string> Suf;

void GetSA(char *str, int *sa) {
	Suf.clear();
	for (int i = 1; i <= N; i++) {
		std::string tmp;
		for (int j = i; j <= N; j++)
			tmp += str[j];
		Suf.push_back(tmp);
	}
	std::sort(Suf.begin(), Suf.end());
	for (int i = 0; i < int(Suf.size()); i++)
		sa[i + 1] = N - Suf[i].length() + 1;
}

int main() {
	scanf("%s", S + 1);
	N = strlen(S + 1);
	GetSA(S, SA);
	for (int i = 1; i <= N; i++)
		Rank[SA[i]] = i;
	for (int i = 1; i < N; i++)
		if (Rank[SA[i] + 1] >= Rank[SA[i + 1] + 1]) // S[SA[i]] < S[SA[i + 1]]
			P[SA[i]] = true;
	for (int i = 1; i <= N; i++) {
		if (S[i] != 'a') {
			int j = SA[Rank[i] - 1];
			if ((P[j] && S[j] < S[i] - 1) || (!P[j] && S[j] < S[i])) {
				puts("Exists");
				return 0;
			}
		}
	}
	puts("Does not exist");
	return 0;
}

然而两个时间只差一毫秒 = =