强制K度最小生成树算法-优快云博客

算法目的：给出 $V_{0},K$ 和一个带边权的无向图，求出在 $V_{0}$ 的度数最多为 $K$ 的限制下的最小生成树

预备知识：最小生成树、动态规划

定义：强制K度最小生成树为所有生成树中 $V_{0}$ 的度数为 $K$ 的权值最小的生成树

大概思路：先把 $V_{0}$ 和 $V_{0}$ 有关的边都删除，假设现在的图分成了 $M$ 个联通块，则我们可以得知对于任何生成树 $V_{0}$ 的度数至少为 $M$ 。那么我们依次求出强制M度最小生成树、强制M+1度最小生成树…强制K度最小生成树，这些生成树的最小值就是最小K度限制生成树

定理：任意强制K+1度最小生成树一定可以由某个强制K度最小生成树替换一条边得到

定理的证明：我们可以把强制K度最小生成树想象成 $V_{0}$ 连着 $K$ 颗树，设新加入的边为 $(A_{1},B_{1}),(A_{2},B_{2}) …$

易知，不存在 $(A_{i},B_{i})$ 在同一棵树中。因为如果有，则两个生成树中至少有一个不是最小生成树
同理，也不存在 $(A_{i},B_{i})$ 跨越不同的树。
所以可以得出所有的 $(A_{i},B_{i})$ 满足 $A_{i}=V_{0}$ 或 $B_{i}=V_{0}$

又因为经过替换之后 $V_{0}$ 的度数只增加了1，所以若加入了X条这样的边，就必须删掉X-1条这样的边
由于原来的树是强制K度最小生成树，所以一定不存在在某棵树中换一个点与 $V_{0}$ 相连使得答案变小的情况
所以可以得出，所有的这样添加和删除操作必然都是在同一棵树中进行的
可以证明原来这棵树与 $V_{0}$ 相连的边一定不会被替换掉，所以X-1=0，X=1
也就是说，强制K+1度最小生成树是从强制K度最小生成树删一条边再加一条边产生的
证毕

有了这个定理，我们就可以更加快速的求出强制K度最小生成树了

算法步骤：1.先求出 $M$ ，并对每个联通快求出一个最小生成树，然后选择一个权值最小的边使其和 $V_{0}$ 相连，这就是强制M度最小生成树

2.然后考虑求强制M+1度最小生成树，根据定理，这个生成树是由上一个生成树替换一条边得到。当我们加入 $(V_{0},S)$ 时，我们一定会选择删除现在从 $V_{0}$ 到 $S$ 路径上边权最大的那个，所以我们O(N)扫一遍所有点，进行一次DP，求出从 $V_{0}$ 到所有点的路径最大权值是多少