[CodeForces 1394D] Boboniu and Jianghu（树形 DP + 贪心）

本文介绍了一种使用树形动态规划解决特定类型问题的方法，通过定义状态和转移方程来最小化节点对答案的贡献。文章以CodeForces1394D为例，详细解释了如何给树上的边定向，并通过排序和贪心策略找到最优解。

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题目
分析
代码

题目

分析

考虑树形 DP：对于当前点 $u$ 和它的子节点 $v$ ，若 $h_u \neq h_v$ ，那么这条边的方向就确定；若 $h_u = h_v$ ，我们需要给这条边定向。假设最终定完 $u$ 所有邻接边的向后 $u$ 的入度为 $x$ ，出度为 $y$ ，那么 $u$ 对答案的贡献就是 $t_u \times \max\{x, y\}$ 。
于是可以定义状态： $d p [u] [0 / 1]$ 为 $u$ 的父亲边朝向 $u$ $/$ 背向 $u$ 时 $u$ 子树对答案的最小贡献。

树上给边定向的套路就是先给边钦定一个方向（例如我们钦定这些边都指向 $v$ ）并统计代价（代价为 $d p [v] [0]$ ），然后把改变该边方向的代价（即 $d p [v] [1] - d p [v] [0]$ ）放入数组中排序。从改变代价小的开始改变边的方向即可。

上述方法为什么是对的呢？因为对于一种改变了 $p$ 条边方向的方案，其对“ $u$ 对答案的贡献”的改变量是一定的（不考虑父亲边就是 $t_u \times \max\{x + p, y - p\}$ ），那么只需要贪心地取边改变量最小的 $p$ 条即可。

代码

#include <bits/stdc++.h>

int Read() {
    int x = 0; char c = getchar();
    while (c < '0' || c > '9')
        c = getchar();
    while (c >= '0' && c <= '9')
        x = x * 10 + (c ^ 48), c = getchar();
    return x;
}

typedef long long LL;

const int MAXN = 200000;

int N;
int A[MAXN + 5], B[MAXN + 5];
std::vector<int> G[MAXN + 5];

LL Ans;
LL Dp[MAXN + 5][2];

void Dfs(int u, int f) {
    LL tot = 0;
    int out = 0, in = 0;
    std::vector<LL> num;
    for (int v: G[u]) {
        if (v != f) {
            Dfs(v, u);
            if (A[u] < A[v])
                tot += Dp[v][1], in++;
            else {
                tot += Dp[v][0], out++;
                if (A[u] == A[v])
                    num.push_aback(Dp[v][1] - Dp[v][0]);
            }
        }
    }
    std::sort(num.begin(), num.end());
    Dp[u][0] = tot + (LL)B[u] * std::max(in + (u != 1), out);
    Dp[u][1] = tot + (LL)B[u] * std::max(in, out + (u != 1));
    for (int val: num) {
        in++, out--, tot += val;
        Dp[u][0] = std::min(Dp[u][0], tot + (LL)B[u] * std::max(in + (u != 1), out));
        Dp[u][1] = std::min(Dp[u][1], tot + (LL)B[u] * std::max(in, out + (u != 1)));
    }
}

int main() {
    N = Read();
    for (int i = 1; i <= N; i++)
        B[i] = Read();
    for (int i = 1; i <= N; i++)
        A[i] = Read();
    for (int i = 1; i < N; i++) {
        int u = Read(), v = Read();
        G[u].push_back(v);
        G[v].push_back(u);
    }
    Dfs(1, 0);
    printf("%lld", Dp[1][0]);
    return 0;
}