【HDU 1686】KMP+贪心 剪花布条(一般题)

题目描述

一块花布条，里面有些图案，另有一块直接可用的小饰条，里面也有一些图案。对于给定的花布条和小饰条，计算一下能从花布条中尽可能剪出几块小饰条来呢？

输入

输入中含有一些数据，分别是成对出现的花布条和小饰条，其布条都是用可见ASCII字符表示的，可见的ASCII字符有多少个，布条的花纹也有多少种花样。花纹条和小饰条不会超过1000个字符长。如果遇见#字符，则不再进行工作。

输出

输出能从花纹布中剪出的最多小饰条个数，如果一块都没有，那就老老实实输出0，每个结果之间应换行。

样例输入

abcde a3
aaaaaa aa
#

样例输出

0
3

题解

最近学习了$KMP$字符串算法，心血来潮写一篇博客……
虽说$exKMP$要比$KMP$难一些，但是由于给我讲算法的师姐只给我讲了$exKMP$，所以我只会$exKMP$（因为老师还没有正式讲$QwQ$），貌似$KMP$可以解决的问题$exKMP$都能解决，而$exKMP$能解决的问题$KMP$不一定能解决$QwQ$，所以我就贴$exKMP$的算法啦~

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好了，那么什么是$exKMP$呢？
$exKMP$问题就是求出模式串$A$与被匹配字符串$B$的每一个后缀的最长公共前缀。
例如$A=aab\ B=aabaaab$

$B$的后缀起始下标	$B$的后缀	与$A$的最长公共前缀长度
$0$	$aabaaab$	$3$
$1$	$abaaab$	$1$
$2$	$baaab$	$0$
$3$	$aaab$	$2$
$4$	$aab$	$3$
$5$	$ab$	$1$
$6$	$b$	$0$

$exKMP$看似需要$O(n^2)$的时间，但是和$KMP$问题一样，$exKMP$问题也可以在$O(n)$的时间内做出来。我们定义两个数组：
$nex$：$A$的所有后缀与$A$的最长公共前缀
$ex$：$B$的所有后缀与$A$的最长公共前缀
我们先看看怎么求出辅助数组$nex$
显然，$nex[0]=len_a$，$nex[1]$可以$O(n)$暴力求出
然后我们考虑在知道了$nex[1...i-1]$后求出$nex[i]$。

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由$nex$的定义得，$nex[j]$表示从第$j$位开始，有连续的$nex[j]$位与字符串的开头相同，定义$p=j+nex[j]$。容易发现$[j,p)$与开头的$[0,nex[j])$匹配。
我们在$[1,i)$中找到一个$p$最大的$j$，如果$i$的最长公共前缀全都被$[j,p)$覆盖，那么由于$nex$的定义，很容易发现$nex[i]$就是$nex[i-j]$。因为$j<i$，所以我们只需要判断$i$的右端点是否被完全覆盖即可，也就是$i+nex[i-j]$是否被覆盖。

所以就分成了两种情况：

• 如果$i+nex[i-j]<maxp$，那么$nex[i]=nex[i-j]$。
• 如果$i+nex[i-j]>=maxp$呢？很遗憾，你只能从$maxp$开始暴力做（当然别忘了更新$j$和$maxp$）……但是不要沮丧，每一个位置只会被暴力做一次（做完后就被$maxp$覆盖了），所以时间依然是$O(n)$!

至此，我们求出了$nex$数组，那怎么求$ex$数组呢？我们可以用类似的步骤重做一次，只需要注意几个细节就基本算是$copy$了……
附上求$nex$代码片

nex[0]=n;//特殊情况
for(int i=1;i<n;i++)
    if(A[i]==A[i-1])nex[1]++;
        else break;//暴力
maxp=nex[1]+1;po=1;//不说话
for(int i=2;i<n;i++)
{
    if(i+nex[i-po]<maxp)nex[i]=nex[i-po];//第一种情况
    else nex[i]=max(maxp-i,0);
    while(i+nex[i]<n&&A[nex[i]]==A[i+nex[i]])nex[i]++;//第二种情况开始暴力……
    if(i+nex[i]>maxp)maxp=i+nex[i],po=i;
}

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好了我们回到原题，通过$exKMP$，我们能够求出$ex$数组，如果$ex[i]=n$说明$i$号位置的后缀可以与模式串匹配，那么就可以剪下$[i,i+n)$，那么我们就可以把题目转化成另一个问题。已知$k$个区间，选出最多的两两不相交的区间。这就是一个简单的贪心了，由于长度都相等，我们只需要尽量选靠前的区间，如果有重叠，就把靠后的区间舍掉。$O(n)$扫过去就好了，然后就是代码了（这次有注释了！！！虽然只有一个）……

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define N 1000005
char A[N],B[N];//A为模式串 B为匹配串
int nex[N],ex[N],maxp,po,n,m;
void exKMP(char *A,char *B)
{
    memset(nex,0,sizeof(nex));
    memset(ex,0,sizeof(ex));
    n=strlen(A);m=strlen(B);
    nex[0]=n;
    for(int i=1;i<n;i++)
        if(A[i]==A[i-1])nex[1]++;
        else break;
    maxp=nex[1]+1;po=1;
    for(int i=2;i<n;i++)
    {
        if(i+nex[i-po]<maxp)nex[i]=nex[i-po];
        else nex[i]=max(maxp-i,0);
        while(i+nex[i]<n&&A[nex[i]]==A[i+nex[i]])nex[i]++;
        if(i+nex[i]>maxp)maxp=i+nex[i],po=i;
    }
    for(int i=0;i<n;i++)
        if(A[i]==B[i])ex[0]++;
        else break;
    maxp=ex[0];po=0;
    for(int i=1;i<m;i++)
    {
        if(i+nex[i-po]<maxp)ex[i]=nex[i-po];
        else ex[i]=max(maxp-i,0);
        while(ex[i]<n&&i+ex[i]<m&&A[ex[i]]==B[i+ex[i]])ex[i]++;
        if(i+ex[i]>maxp)maxp=i+ex[i],po=i;
    }
}
int main()
{
    for(;;)
    {
        scanf("%s",B);
        if(B[0]=='#')
            break;
        scanf("%s",A);
        exKMP(A,B);
        int last=0,sum=0;
        for(int i=0;i<m;i++)
            if(ex[i]==n&&i>=last)
                sum++,last=i+n;
        printf("%d\n",sum);
    }
}