BZOJ3701 Olympic Games 莫比乌斯反演

最新推荐文章于 2019-11-03 01:11:30 发布

Master.Yi

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分类专栏：莫比乌斯反演

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本文探讨了在给定约束条件下，利用计算几何和莫比乌斯反演解决网格上可见点对计数问题的方法。通过分析点对之间的欧氏距离，将问题转化为求解特定范围内的距离对数，最终实现高效计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

给出 $n, m, l, r, m o d$
求 $(n + 1) * (m + 1)$ 的网格上能相互看见的点对数对mod取模的值
能相互看见定义为两点的连线不经过其他点，且欧氏距离在[l,r]范围内
$n,m≤100000n,m\le100000$
$l,r≤150000l,r\le150000$
$mod≤109mod\le10^9$

题目分析

粗略描述一下题目要求:
$ans=∑0≤i≤n∑0≤j≤m∑0≤x≤n∑0≤y≤n[(i−x,j−y)=1][l≤(i−x)2+(j−y)2≤r]ans=\sum_{0\le i\le n}\sum_{0\le j\le m}\sum_{0\le x\le n}\sum_{0\le y\le n}[(i-x,j-y)=1][l\le\sqrt{(i-x)^2+(j-y)^2}\le r]$

显然过于繁琐，考虑直接看 $i - x$ 和 $j - y$ ，即枚举两个坐标的差值
( $P S :$ 对相邻两点单独处理，即当 $l≤1≤r时，ans+=2∗n∗m+n+ml\le1\le r时，ans+=2*n*m+n+m$ )

由于距离大小都有限制，所以转化为求距离<=r的减去距离<=l-1的

$Ans(L2)=∑1≤i≤n2∗(n−i+1)∑1≤j≤min(m,L2−i2)[(i,j)=1]∗(m−j+1)Ans(L^2)=\sum_{1\le i\le n}2*(n-i+1)\sum_{1\le j\le min(m,\sqrt{L^2-i^2})}[(i,j)=1]*(m-j+1)$
莫比乌斯反演换掉条件框，
$Ans(L2)=∑1≤i≤n2∗(n−i+1)∑1≤j≤min(m,L2−i2)∑d∣(i,j)μ(d)∗(m−j+1)Ans(L^2)=\sum_{1\le i\le n}2*(n-i+1)\sum_{1\le j\le min(m,\sqrt{L^2-i^2})}\sum_{d|(i,j)}μ(d)*(m-j+1)$
$=∑1≤i≤n2∗(n−i+1)∑d∣iμ(d)∑j=1min(m/d,L2−i2/d)(m−dj+1)=\sum_{1\le i\le n}2*(n-i+1)\sum_{d|i}μ(d)\sum_{j=1}^{min(m/d,\sqrt{L^2-i^2}/d)}(m-dj+1)$
枚举 $i,d,O(nn)i,d,O(n\sqrt n)$ ，后面那坨可以 $O (1)$ 求

当初做的时候没有想到可以直接枚举，到最后一步的时候想着要把d提到最前面，然后按照套路把i,j转成倍数形式，结果懵逼好久，所以该枚举的时候就要大胆枚举，要为了解题而用莫比乌斯。。。
注意到处是坑的 $1 l l$ …

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define maxn 100005
#define LL long long
using namespace std;
int n,m,mod,l,r,mu[maxn],p[maxn];
bool v[maxn];
void Prime(int N)
{
    mu[1]=1;int cnt=0;
    for(int i=2;i<=N;i++)
    {
        if(!v[i]) p[++cnt]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=1,k;j<=cnt&&p[j]*i<=N;j++)
        {
            v[k=p[j]*i]=1;
            if(i%p[j]==0) {mu[k]=0;break;}
            mu[k]=-mu[i];
        }
    }
}
inline int calc(int d,int j){return mu[d]*(1ll*j*m-1ll*d*j*(j+1)/2+j)%mod;}
LL solve(LL R)
{
    LL ret=0;
    for(int i=1;i<=n&&1ll*i*i<R;i++)
        for(int d=1,j;d*d<=i;d++)
            if(i%d==0)
            {
                j=min(int(sqrt(R-1ll*i*i)/d),m/d);
                ret=(ret+1ll*(n-i+1)*calc(d,j))%mod;
                if(i/d!=d){
                    j=min(int(sqrt(R-1ll*i*i)/(i/d)),m/(i/d));
                    ret=(ret+1ll*(n-i+1)*calc(i/d,j))%mod;
                }
            }
    return ret*2%mod;
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d%d%d",&n,&m,&l,&r,&mod);
    Prime(n);
    LL ans=solve(1ll*r*r)-solve(1ll*l*l-1);
    if(l<=1&&1<=r) ans+=1ll*n*m*2+n+m;
    printf("%lld",(ans%mod+mod)%mod);
}