电影兑换券的推荐策略——二分图最优匹配算法

原创

于 2022-06-27 16:00:42 发布 · 4.8k 阅读

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#算法 #java #数据结构 #数据库 #分布式

本文介绍了如何利用Kuhn-Munkres（KM）算法解决用户在购买多张电影票时，如何选择兑换券以实现最低实际支付金额的问题。在考虑了优先级规则（实际支付金额少、面值小、券包消耗快、过期时间早）后，通过贪心、暴力枚举和KM算法进行优化。最终，通过调整算法，实现了在有限的电影票数量下，快速找到最佳的兑换券组合，确保了效率和用户省钱的目标。

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问题概述

一笔订单最多可使用所含电影票数目张兑换券。换而言之，用户选了几个座位，最多便能使用几张兑换券，兑换券有三个属性，分别是：

面值（元）：在不支持补差的情况下，票价小于等于面值才可以使用
固定支付金额（元）：满足兑换券的使用条件下，需要支付的钱。
补差（是 / 否）：如果支持补差，当票价大于面值时，还需要额外支付（票价 - 面值）元

举个栗子：小明有一张面值 50，固定支付 19 元且支持补差的兑换券。那么他能使用这张兑换券去购买票价小于等于 50 元的电影票，只需支付 19 元。因为支持补差，所以他能购买票价为 60 元（大于面值）的电影票，需支付（19 + （ 60 - 50））既 29 元。

我们问题是：用户下了一笔订单，订单中有 x（根据业务场景，x <= 6）张电影票，y 张兑换券，从这 y 张兑换券中选择不超过 x 张兑换券，使得该笔订单的实际支付金额最少，如果有多种解决方案，那么根据以下优先级为用户推荐选券的方案：

优先级 1: 选择实际支付金额少的方案
优先级 2: 如果实际支付金额一致，则优先使用面值小的方案
- 原因：如果用户想购买一张票价为 38 元的电影票，当前他有一张 40 元和一张 60 元的兑换券，任意使用一张兑换券能得到的实际支付金额都是 0 元，那么优先为用户选择 40 元的兑换券，这样 60 元的兑换券就能服务于用户的下一笔订单，更能为用户省钱。
优先级 3: 若面值大小也一致，则优先使用优惠券所在券包消耗券数目多的优惠券
优先级 4: 若消耗券数目一致，则优先使用过期时间早的优惠券

技术方案

方案一：贪心

具体步骤：排序

对票价从大到小排序，让票价高的电影票优先选择，目的就是为了金额大的电影票优先使用限制条件少（既面值大）的兑换券，让券面值得到充分利用，每个票和券的组合都尽可能是最优解。

证明方法：举反例法

很不幸，很快就找出一个反例推翻了这个方案，反例如图所示

方案二：暴力枚举

枚举所有方案，从这所有方案中求出最优解，但是时间复杂度高达 C(y, x) * A(x, x) 也就是 O(n!)，若按照 1s 钟计算机能运行 10^8 次计算这样的标准，当 n = 13 的时候，需要超过 10s 才能得到答案，并且 n 每增加 1，时间就会扩大 n 倍。

解决方案三：二分图最优匹配算法——KM 算法

km（Kuhn-Munkres）算法简介

km 算法是一种二分图最佳匹配算法，该算法主要用于解决一个经典的问题模型：完美婚姻问题。该问题的描述如下：n 个男生和 n 个女生相亲，第 i 个男生和第 j 个女生在一起的幸福值是 val(i, j)，如何让 n 个男生和 n 个女生完成一一配对，使得这个整体的总幸福值最大。我们的问题和完美婚姻问题模型有点相似，并且经过调研 km 算法时间复杂度是 n^3，km 算法有一个非常大的优点就是，他可以求出哪张券用于哪张电影票，适用于选座相关的业务场景。

km 算法落地（对 km 算法不熟悉的同学可以先浏览第三部分）

我们把兑换券看成男生，电影票看成女生，用兑换券 j 购买电影票 i 的花费是 -w(i, j)去建图，如果兑换券 j 无法购买电影票 i，那么花费 w(i, j)设置为负无穷大，去构造一个二分图尝试求解，我们会遇到一些问题：

改造一：如何满足 km 算法的使用条件？

因为 km 算法是用于求解二分图的最佳匹配，也就是说二分图必须存在最佳匹配才能使用 km 算法求解。存在最佳匹配的必要条件是：必须两边的点相同，而且至少存在一种匹配方案使得所有的点都被匹配。所以我们需要补点和补边（补点和补边也是使用 km 算法的常见的技巧）。补边策略：将不存在的边，权重设为-inf。补点策略：新增 x 张兑换券，第 y + i 张兑换券跟第 i 张电影票连边，权值为电影票的原价，这样一来可以保障把无穷大的结果排除在外，二来不需要再额外再计算使用原价购买的情况。

改造二：如何在多个解中求出满足优先级的解？

我们可以把所有兑换券按照面值由小到大排序，如果面值一致，那么按照入账时间从早到晚排序，如果入驻时间一致，按照过期时间由早到晚排序，简而言之，把优先级高的券放在前面。枚举数量 k，对前 k 个兑换券和所有的电影票加入 km 模型中，计算出最少花费，只有花费变得比之前更小才更新答案。这样可以保证取得最少花费的同时，还能满足优先级。还有一个好处是，如果后续 pm 对策略的优先级进行调整，那么我们可以更改最初的排序规则即可。但是时间复杂度此时变成了 n^4。

如图所示，当 k 等于 2 的时候取得最优解，k=3 的时候有可能匹配到优先级低的券。

改造三、时间复杂度的优化

经过改造一和改造二的处理后，算法时间复杂度是：（x+y)^4 + y*logy（x 代表电影票张数，y 代表兑换券张数）

时间复杂度分析：经过补点操作后，二分图两边的点都是 x + y 个。因为 km 算法的时间复杂度是 n ^ 3 次方，n 为二分图单侧的点的个数。所以当前的时间复杂度是 （x+y)^3 。为了处理匹配的优先级问题，我们对优惠券进行了优先级排序，时间复杂度是y*logy，在运行 km 算法的时候，枚举了数