洛谷P8753 [蓝桥杯 2021 省 AB2] 小平方

文章讨论了如何确定一个正整数n范围内,其平方除以n的余数小于n一半的数的数量,通过编程方法给出解决方案。

 问题描述:

小蓝发现,对于一个正整数 �n 和一个小于 �n 的正整数 �v,将 �v 平方后对 �n 取余可能小于 �n 的一半,也可能大于等于 �n 的一半。

请问,在 11 到 �−1n−1 中, 有多少个数平方后除以 �n 的余数小于 �n 的一半。

例如,当 �=4n=4 时,1,2,31,2,3 的平方除以 44 的余数都小于 44 的一半。

又如,当 �=5n=5 时, 11,44 的平方除以 55 的余数都是 11,小于 55 的一半。而 22,33 的平方除以 55 的余数都是 44, 大于等于 55 的一半。


输入:

输入一行包含一个整数 �n 。


输出:

输出一个整数,表示满足条件的数的数量。


参考代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    int n,count=0;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        if(i*i%n<n/2.0)
            count++;
    }
    cout<<count<<endl;
    return 0;
}

### 关于蓝桥杯 2021 AB 组 第二题 完全平数 的 Java 实现 对于蓝桥杯 2021赛中的完全平数问题,可以采用枚举的法来解决。具体来说,在给定范围内查找满足条件的整数对 \((a, b)\),使得 \(b\) 是 \(a\) 的倍数且两者均为完全平数。 #### 法概述 为了提高效率并减少不必要的计算量,可以通过预处理的式先找出一定范围内的所有完全平数,并存储在一个列表中以便后续快速访问。接着利用双重循环遍历这些预先准备好的数据集,检查每一对组合是否符合条件。 下面是具体的算法实现: ```java import java.util.ArrayList; import java.util.List; public class PerfectSquare { public static void main(String[] args) { List<Integer> squares = new ArrayList<>(); // 预处理得到所有的完全平数 for (int i = 1; ; ++i){ int square = i * i; if (square > 1e8) break; // 设定上限防止溢出 squares.add(square); } long count = 0L; final int LIMIT = 1_0000_0000; // 枚举 a 和 b ,其中 b >= a for(int idx_a = 0; idx_a < squares.size(); ++idx_a){ int a = squares.get(idx_a); if(a*a>LIMIT || a*4>LIMIT){break;} // 提前终止 for(int idx_b = idx_a; idx_b<squares.size();++idx_b){ int b=squares.get(idx_b); if(b*LIMIT/a>b||b/LIMIT<a){continue;} // 排除非法情况 if ((long)b % a == 0 && (long)a*b<=LIMIT ) { count++; } } } System.out.println(count); } } ``` 此程序通过构建一个包含所有可能的完全平数值的小型数组来进行高效的查询操作[^1]。注意这里设置了一个合理的上界以确保不会发生整数溢出的情况。此外,还加入了一些简单的剪枝逻辑用于加速运行时间。
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