整数表达算法-优快云博客

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问题描述：

任意一个整数x都可以写成一系列2的幂的组合，这里的组合是指用加减法把它们接连起来。令f(x)为x需要的最少的2的幂的项数，求f(x)。

如：

$7 = 2^0 + 2^1 + 2^2$
$7 = 2^3 - 2^0$

$\therefore f(7) = 2$

声明：

因为 $f(x) = f(-x)$ , 所以后文一致假设x非负。另外令 $f(0) = 0$ 。

下面介绍三种算法，由易到难，且算法之间存在联系。

算法1：

令floor2(x)表示不大于x的最大2幂, ceil2(x)表示不小于x的最小2幂，最优的组合要么是floor2(x)加上其它一些项，或者是ceil2(x)减去其它一些项。
于是可以得到求f(x)的一个递归过程如下：

def f(x):
    if x == 0: return 0
    l = floor2(x)
    u = ceil2(x)
    if l == u: return 1
    return 1 + min(f(x - l), f(u - x))

算法2：

观察算法1会发现，有很多的计算都是重复的
如对于对于求 $f(23)$ ：
这里写图片描述

测试代码：


def floor2( x ):
    a = 1
    while a < x:
        a = a * 2
    if a == x:
        return a
    else:
        return a / 2

def ceil2( x ):
    a = 1
    while a < x:
        a = a * 2
    return a

def f(x):
    print x
    if x == 0:
        return 0
    l = floor2(x)
    u = ceil2(x)
    if l == u:
        return 1
    return 1 + min(f(x - l), f(u - x))

print f( 23 )

因此可以使用一个数组存储已经计算过的结果：

def f(x):
    if x == 0: return 0
    if x in table: return table[x]
    l = floor2(x)
    u = ceil2(x)
    if l == u: return 1
    r = 1 + min(f(x - l), f(u - x))
    table[x] = r
    return r

算法3：

算法2是一个从本身串层层向下递推的过程，因此需要额外内存存储结果，因此想到，可以改进算法2为由下向上的过程。

分析算法2的递推过程：

如 $x = (1010110)_2$

$x - floor2(x) = (0010110)_2$
$ceil2(x) - x = (10000000)_2 - (1010110)_2 = (0101010)_2 =$ ~ $x + 1$

我们会发现， $x - floor2(x)$ 表示的是自身串从左往右数，第二个1之后的子串， $ceil2(x) - x$ 表示的是自身串从左往右数，第一个0之后的子串取反加1

因此，算法3的思路就是，从右往左遍历自身串，用u表示以1开头的串的 $f(x)$ 值，用d表示以0开头的串取反加一的 $f(x)$ 值

从右往左扫，扫到1则更新u，扫到0则更新d

自身串最右边刚开始的那些0是没有用的，一直扫到1开始更新，u、d赋初值1

代码中的>>1不要当成除以2，而是看做二进制字符串的右移。&1 == 1表示最后一位是1.

def f(x):
    if x == 0: return 0
    while x & 1 == 0: x = x >> 1
    u = 1
    d = 1
    x = x >> 1
    while x > 0:     
        if x & 1 == 1:
            u = min(u, d) + 1
        else:
            d = min(u, d) + 1
        x = x >> 1
    return u