密码学学习之费马小定理 & 中国剩余定理应用：RSA-CRT 签名算法

 RSA算法

传统方式计算RSA
1.公私钥计算
（1） 计算 n = p x q ;
（2） 计算Φ（n）= (p-1) x (q-1);
（3） 选择 e ，且e与Φ（n）互素 ;
（4） 确定d x e= 1 mod Φ（n）;
（5） 确定公钥 PU = {n , d}, 私钥 PR = {n,e}
2.加解密
明文M ;加密Y= M^e mod n；
解密 M = Y^d mod n；

由于原版的RSA算法在解密的时候，需要用到公式c^d = m，若d过大则会导致解密时间过长，因此可以使用中国剩余定理降低解密时次幂计算时的阶。

首先n可以分解成p和q，之后根据中国剩余定理，有m=m1 mod p、m = m2 mod q，这样可以直接把解密的模数从n降为p和q。接着，为了减少次解密时乘法的次幂数，根据我之前写BUUCTF的RSA1的题目的步骤来看，可以令dp = d mod (p-1),dq = d mod (q-1)（注意，这里之所以选p-1作为模数，是因为p-1是Φ（n）的因子之一满足欧拉定理），

1. 根据中国剩余定理，可知m1 = c^d mod p; m2 = c^d mod q，因此c^d = kp + m1， m2= (kp + m1) mod q , m2 - m1= kp mod q ；

2. 由于p和q互素，因此可以得出(m2-m1)p-1 = k mod q,经过公式转换可以得出k = (m2 - m1) p-1 mod q,将k代入公式cd = kp + m1，得出等式cd =(( (m2-m1)p-1modq)p + m1)mod n ；

   3. 由公式5、6得出d = dp mod ( p − 1 ),d= dq mod ( q − 1 ) ,将其代入m1 = c^d mod p和m2 = c^d mod q ；

4. 最终得到明文表达式m = (((m2−m1) ∗p−1 mod q) p + m1) mod n = (((c^dp mod ( p − 1 ) mod q−c^dq mod ( q − 1 ) mod p) ∗p−1 mod q) p + c^dp mod ( p − 1 )mod p) mod n。

那么d = k1*(q-1) +dp，带入解密公式，可得c^d mod p =c^(k1(p-1) +dp) mod p=c^dp * c^(k1(p-1)) mod p，因为 c^(p-1) mod p = 1 （欧拉定理）= c^k1 mod p，这样就成功降解密的次幂阶从d降到了k1，这里的k1 = d mod dp，这么看是不是很巧呢？这里不光是dp，还可以用dq（dq = d mod (q-1)，即d = dq mod （q-1）），来降低d，总之是个很灵活的事。