从理想到实际，从模拟到离散（信号与系统）

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于 2021-09-01 09:32:21 首次发布

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本文探讨了信号与系统学习中的难点，如理论与实践对应、模拟与数字界限、各种分析域的关系、信号系统定位等，同时聚焦抽样理论、离散傅里叶变换、滤波器设计和傅里叶变换应用的澄清。

时域离散信号：模拟频率 $f$ 、模拟角频率 $Ω=2πf\Omega=2\pi f$ 、数字频率 $ω=2πffs\omega=2\pi \frac{f}{f_s}$ 、归一化频率 $ffs\frac{f}{f_s}$
模拟低通信号：最高模拟频率 $f_H$ ，奈奎斯特频率 $fs2\frac{f_s}{2}$

在讲到从模拟信号到数字信号时，或者说在将信源编码时，谈到一个数字化的过程：抽样，量化，编码。其中，抽样这一步骤有理想采样和非理想采样（包括自然采样或者平定采样）之分，但是都是获得时域离散信号。我的问题是：在进行时序离散信号分析时，为什么并不是采用上述的抽样之后获得的时域离散信号来继续离散傅里叶分析，而是采用“另一种”时域离散信号来做离散傅里叶变换？

来自模拟低通采样定理的坑：虽然其指出了最小的采样频率f，但是并不意味着任何大于该值的采样频率都能够保证频谱不混叠。
采样定理包含时域采样定理和频域采样定理，时域采样定理又包含模拟低通和模拟带通采样定理。实际上根据时域、频域对偶性，不必拘泥于时域和频域，将二者抽象为A域与B域即可，基本的规则为：在一个域中以间隔 $A$ 对原函数进行采样，将导致变换域中象函数周期化，其周期为 $B=1AB=\frac{1}{A}$
对于时域离散信号来说，能够被感知的最高的数字频率为 $ωmax=2πffs\omega_{max}=2\pi \frac{f}{f_s}$ ，例如：复平面上，采样信号 $z=ejωnz=e^{j\omega n}$ 上的最新的采样点 $P$ ，则可以看到 $P$ 逆时针以 $ω=0.2π\omega=0.2\pi$ 转动。而当动点逆时针以 $ω=1.8π\omega=1.8\pi$ 转动时，无法区分 $ω=−0.2π\omega=-0.2\pi$ 和它的区别。所以对于采样点来说，最大的可被感知的角速度为 $ω=π\omega=\pi$
对于混频现象的直观理解：采样频率不够高时，时域来看，采样所得序列不能反映信号中的快速变化部分；频域来看，高频信息会丢失

对频率为 $f$ 的周期信号来说，如果采样频率 $f_s$ ，则采样后的数字角频率为 $ffs∗2π\frac{f}{f_s}*2\pi$ ，代表每过一个采样点跨过的弧度。
如何直观理解数字角频率为 $ffs∗2π\frac{f}{f_s}*2\pi$ 呢（问题的前提与上述问题一致）？想象在复频域中，横轴为实轴，纵轴为虚轴，一个半径 $r = 1$ 的圆，然后原本的模拟信号以固定模拟角频率 $ω\omega$ 逆时针转动，然后我们对该圆进行采样，转动采样周期后采样一个点，如果采样频率 $f_s$ 越高，则一周之内的平均采样点数也就越多。直观上我们可以知道：一周之内的采样点数与信号模拟频率有关，并且与采样频率也有关，为 $fsf\frac{f_s}{f}$ ，所以每跳过一个采样点的弧度为 $2π∗ffs2\pi*\frac{f}{f_s}$ 。

FT、CTFT、DTFT、DFT、FFT；FS、CTFS、DTFS；DT代表Discrete Time/离散时间；FT代表Fourier Transform/傅里叶变换；FS代表Fourier Series/傅里叶级数
严格来说，计算机无法处理CTFS（时域连续且周期，频域离散且非周期）、CTFT（时域连续且非周期，频域连续且非周期）、DTFT（时域离散且非周期，频域连续且周期）、DTFS（时域离散且周期，频域离散且周期），但是可以处理DFT（时域离散且非周期、频域离散且非周期）
拉氏变换是连续时间傅里叶变换的扩展，因为有些模拟信号的傅里叶变换不收敛，而拉氏变换却能适用，对于不稳定系统，可以对其进行拉氏变换
z变换是离散时间傅里叶变换的扩展，因为某些时域离散信号的傅里叶变换不收敛，而z变换能够适用。
离散傅里叶变换描述的是：DTFS变换对对应的主值序列(N长)之间的关系。其中在时域： $N - 1$ 对应 $T_1$ ， $1$ 对应 $1/T_s$ ；在频域： $N - 1$ 对应 $fsor2πf_sor2 \pi$ ， $1$ 对应 $f_1$

FIR和IIR都是常见的数字滤波器，IIR(Infinite Impulse Response)为无限（单位）脉冲响应滤波器，FIR(Finite Impulse Response)为有限（单位）脉冲响应滤波器。二者的区别首先体现在名字上：①脉冲响应为无限长或者有限长，②为什么无限长？IIR中存在反馈，导致脉冲响应无限长，FIR中不存在反馈，脉冲响应有限长。③相频特性线性问题（待重新思考）
数字滤波器的设计方法大同小异，只体现在具体的设计步骤不同。
IIR中比较感兴趣的是：双线性变换法和脉冲响应不变法。脉冲响应不变法的基本思路是，在模拟滤波器转换数字滤波器时，保证数字滤波器的脉冲响应的是模拟滤波器脉冲响应的采样。双线性变换法克服了脉冲响应不变法在域变换时可能导致的混叠现象，所以使用了正切函数进行频域压缩。
FIR中比较感兴趣的是：窗函数法。即用各式各样的窗函数来截断数字滤波器的脉冲响应。