【板子】背包九讲

背包九讲板子

例题参考《信息学奥赛一本通》

初始化分两种情况
1、如果背包要求正好装满则初始化 f[0] = 0, f[1~v] = -INF;
2、如果不需要正好装满 f[0~v] = 0;

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01背包

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用（即体积，下同）是w[i]，价值是c[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

• 例题
  【问题描述】
  一个旅行者有一个最多能用m公斤的背包，现在有n件物品，它们的重量分别是W1，W2，…,Wn,它们的价值分别为C1,C2,…,Cn.若每种物品只有一件求旅行者能获得最大总价值。
  【输入格式】
  第一行：两个整数，M(背包容量，M<=200)和N(物品数量，N<=30)；
  第2..N+1行：每行二个整数Wi,Ci，表示每个物品的重量和价值。
  【输出格式】
  仅一行，一个数，表示最大总价值。
  【样例输入】package.in
  10 4
  2 1
  3 3
  4 5
  7 9
  【样例输出】package.out
  12

• 代码

解法一

#include<cstdio>
using namespace std;
const int maxn=201,maxn=31;
int m,n;
int w[maxn],c[maxn];
int f[maxn][maxm]; 
int max(int x,int y)  { x>y?x:y;}                     //求x和y最大值
int main()
{
    scanf("%d%d",&m,&n);         //背包容量m和物品数量n
    for (int i=1;i<=n;i++)         //在初始化循环变量部分，定义一个变量并初始化
    scanf("%d%d",&w[i],&c[i]);    //每个物品的重量和价值
    for(int i=1;i<=n;i++)         // f[i][v]表示前i件物品，总重量不超过v的最优价值
    for(int v=m;v>0;v--)
    if(w[i]<=v)  
    f[i][v]=max(f[i-1][v],f[i-1][v-w[i]]+c[i]);
    else
    f[i][v]=f[i-1][v];
    printf("%d",f[n][m]);           // f[n][m]为最优解
    return 0;
}

解法二

#include<cstdio>
using namespace std;
const int maxm=2001,maxn=31;
int m,n;
int w[maxn],c[maxn];
int f[maxm]; 
int main()
{
    scanf("%d%d",&m,&n);            //背包容量m和物品数量n
    for (int i=1;i<=n;i++)
    scanf("%d%d",&w[i],&c[i]);     //每个物品的重量和价值
    for(int i=1;i<=n;i++)             //设f(v)表示重量不超过v公斤的最大价值
    for(int v=m;v>=w[i];v--)
    if(f[v-w[i]]+c[i]>f[v])
    f[v]=f[v-w[i]]+c[i];
    printf("%d",f[m]);                      // f(m)为最优解
    return 0;
}

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完全背包

有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是w[i]，价值是c[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

• 例题
  【问题描述】
  　　设有n种物品，每种物品有一个重量及一个价值。但每种物品的数量是无限的，同时有一个背包，最大载重量为M，今从n种物品中选取若干件(同一种物品可以多次选取)，使其重量的和小于等于M，而价值的和为最大。
  【输入格式】
  第一行：两个整数，M(背包容量，M<=200)和N(物品数量，N<=30)；
  第2..N+1行：每行二个整数Wi,Ci，表示每个物品的重量和价值。
  【输出格式】
  仅一行，一个数，表示最大总价值。
  【样例输入】knapsack.in
  10 4
  2 1
  3 3
  4 5
  7 9
  【样例输出】knapsack.out
  　 max=12

• 代码
  解法一

#include<cstdio>
using namespace std;
const int maxm=201,maxn=31;
int m, n;
int w[maxn],c[maxn];
int f[maxn][