【算法】不知道有啥用的拓扑排序

拓扑排序在解决家谱树问题中的应用
本文介绍了拓扑排序的概念,通过一个具体的家谱树问题阐述了其思路和解决方法。首先,定义了拓扑排序是基于有向无环图的排序过程,接着,解释了如何通过计算节点的入度和出度进行排序,当出现入度为0的节点时将其加入栈中,并更新其他节点的入度。文章通过一个实例展示了如何将这个思路应用于家谱树的排序,输出满足辈分关系的序列。最后,给出了输入输出样例及解决方案。

定义

一共有好多件事情
事情A要再事情B(或者更多)事情做完才能做
然后排序!
(有向无环图)


思路

一个网上找的图便于理解(下列过程以此图为例)
这里写图片描述

  1. 记录所有点的入度和出度
  2. 找到入度为0的点加入栈中 为a
  3. 栈顶元素输出删除并把与栈顶元素相连的点的入度减一
  4. 删除过程中如果有入度为零的点也加入栈中
  5. 直到输出的数等于n完成排序

    PS:如果输出的数小于n 说明此图有环


例题

家谱树
【题目描述】
有个人的家族很大,辈分关系很混乱,请你帮整理一下这种关系。
给出每个人的孩子的信息。
输入一个序列,使得每个人的后辈都比那个人后列出。
【输入】
第一行一个整数(1<=N<=100),表示家族的人数。
接下来N行,第I行表示第I个人的儿子。
每行最后是0表示描述完毕。
【输出】
输出一个序列,使得每个人的后辈都比那个人后列出。
如果有多解输出任意一解。
【输入样例】
5
0
4 5 1 0
1 0
5 3
0
3 0
【输出样例】
2 4 5 3 1

代码

今天学习了一种拓扑排序的用法,(之前一直觉得拓扑排序没啥用哈哈)在有向无环图(DAG)上,由于可能存在负权边,dijkstra算法肯定是能使用了,用spfa和Floyd的话时间复杂度可能会过高,于是今天我见识到了一种非常神奇的算法。简单来说就是按拓扑排序的顺序来“松弛”每个结点的最短路径(感觉有点类似于spfa???),就是通过入度为0的结点去更新他的邻接点距离源点的最短路径与入度,更新完之后再从入度为0的结点里去更新…这样求最短路的时间复杂度缩小到了O(V+E),相当于把图遍历一遍就求出来了最短路径,非常高效。正确性证明接下来我们来简单的证明下:(这里我们用归纳法证明)我们用 dist[N] 数组来存储源点距离每个点的最短距离,用s来表示源点,N为结点数目。1.用源点(入度为0,否则将会出现环)来进行第一次“松弛”操作和相应的邻接点入度减1操作,之后取入度为0的点(记为v1),显然最开始v1的入度为1,此时dist[v1]为源点到v1的最短距离,因为v1只有源点一个前驱结点。数学化就是:假设到达v1的最短路径为s->vi1->vi2->…vij->v1,则v1的入度至少为2(vij与s),故拓扑序中v1可能在s之后。故拓扑排序中第1个点是正确的。2.假设拓扑排序中的前 i (i >= 1)个点的最短距离都是正确的,取出下一个入度为0的结点vi,设由此种方法得到vi的最短路径为s->vi1->vi2->…vik->vi,即此种方法vi的最短路的前驱结点为vik,以此类推;(显然此路径为s到vi1,vi2…vik的最短路径)设实际最短路径为s->vj1->vj2->…vjk->vi;(显然vjk必然为vi1,vi2…vik中的某一个点。设为vig。1<=g<=k;)则由最短路的最优性原理可知 s->vj1->vj2->…->vjk为s到vjk (vig)的最短路径;故实际最短路径与所求的的最短路径的一部分重合。假设vig(vjk) != vik,则通过vig结点的"松弛"操作更新的vi的最短距离将小于由vik结点的“松弛”操作更新的最短距离,因为实际的最短路是通过vjk(vig)来访问vi的,矛盾!于是vik和vjk是同一个点。故所求的最短距离为实际的最短距离。证毕!
10-04
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