【算法】不知道有啥用的拓扑排序

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本文介绍了拓扑排序的概念，通过一个具体的家谱树问题阐述了其思路和解决方法。首先，定义了拓扑排序是基于有向无环图的排序过程，接着，解释了如何通过计算节点的入度和出度进行排序，当出现入度为0的节点时将其加入栈中，并更新其他节点的入度。文章通过一个实例展示了如何将这个思路应用于家谱树的排序，输出满足辈分关系的序列。最后，给出了输入输出样例及解决方案。

定义

一共有好多件事情
事情A要再事情B（或者更多）事情做完才能做
然后排序！
（有向无环图）

思路

一个网上找的图便于理解（下列过程以此图为例）
这里写图片描述

  1. 记录所有点的入度和出度
  2. 找到入度为0的点加入栈中 为a
  3. 栈顶元素输出删除并把与栈顶元素相连的点的入度减一
  4. 删除过程中如果有入度为零的点也加入栈中

  5. 直到输出的数等于n完成排序

    PS：如果输出的数小于n 说明此图有环

例题

家谱树
【题目描述】
有个人的家族很大，辈分关系很混乱，请你帮整理一下这种关系。
给出每个人的孩子的信息。
输入一个序列，使得每个人的后辈都比那个人后列出。
【输入】
第一行一个整数（1<=N<=100），表示家族的人数。
接下来N行，第I行表示第I个人的儿子。
每行最后是0表示描述完毕。
【输出】
输出一个序列，使得每个人的后辈都比那个人后列出。
如果有多解输出任意一解。
【输入样例】
5
0
4 5 1 0
1 0
5 3
0
3 0
【输出样例】
2 4 5 3 1

代码

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今天学习了一种拓扑排序的用法，(之前一直觉得拓扑排序没啥用哈哈)在有向无环图(DAG)上,由于可能存在负权边，dijkstra算法肯定是不能使用了，用spfa和Floyd的话时间复杂度可能会过高，于是今天我见识到了一种非常神奇的算法。简单来说就是按拓扑排序的顺序来“松弛”每个结点的最短路径(感觉有点类似于spfa？？？)，就是通过入度为0的结点去更新他的邻接点距离源点的最短路径与入度，更新完之后再从入度为0的结点里去更新…这样求最短路的时间复杂度缩小到了O(V+E)，相当于把图遍历一遍就求出来了最短路径，非常高效。正确性证明接下来我们来简单的证明下：（这里我们用归纳法证明）我们用 dist[N] 数组来存储源点距离每个点的最短距离，用s来表示源点，N为结点数目。1.用源点(入度为0，否则将会出现环)来进行第一次“松弛”操作和相应的邻接点入度减1操作，之后取入度为0的点(记为v1)，显然最开始v1的入度为1，此时dist[v1]为源点到v1的最短距离，因为v1只有源点一个前驱结点。数学化就是:假设到达v1的最短路径为s->vi1->vi2->…vij->v1,则v1的入度至少为2（vij与s），故拓扑序中v1不可能在s之后。故拓扑排序中第1个点是正确的。2.假设拓扑排序中的前 i (i >= 1)个点的最短距离都是正确的，取出下一个入度为0的结点vi，设由此种方法得到vi的最短路径为s->vi1->vi2->…vik->vi，即此种方法vi的最短路的前驱结点为vik，以此类推;(显然此路径为s到vi1,vi2…vik的最短路径)设实际最短路径为s->vj1->vj2->…vjk->vi;（显然vjk必然为vi1，vi2…vik中的某一个点。设为vig。1<=g<=k；）则由最短路的最优性原理可知 s->vj1->vj2->…->vjk为s到vjk （vig）的最短路径；故实际最短路径与所求的的最短路径的一部分重合。假设vig(vjk) ！= vik，则通过vig结点的"松弛"操作更新的vi的最短距离将小于由vik结点的“松弛”操作更新的最短距离，因为实际的最短路是通过vjk(vig)来访问vi的，矛盾！于是vik和vjk是同一个点。故所求的最短距离为实际的最短距离。证毕！
10-04
### 拓扑排序在有向无环图（DAG）上求最短路径的算法 利用拓扑排序求DAG的单源最短路，具体步骤如下： 1. 用源点（入度为0，否则将会出现环）来进行第一次“松弛”操作和相应的邻接点入度减1操作。 2. 之后取入度为0的点（记为$v_1$），此时$dist[v_1]$为源点到$v_1$的最短距离，因为$v_1$只有源点一个前驱结点。假设到达$v_1$的最短路径为$s \rightarrow v_{i1} \rightarrow v_{i2} \rightarrow \ldots v_{ij} \rightarrow v_1$，则$v_1$的入度至少为2（$v_{ij}$与$s$），故拓扑序中$v_1$不可能在$s$之后。这样不断重复取入度为0的点进行松弛操作和入度更新，直至处理完所有节点 [^4]。 ### 算法正确性证明 - **路径节点顺序一致性**：对于无圈有向图来说，结点$S$到结点$V$的最短路径中如果存在中间结点，那么$S$，$V$和这些中间结点在最短路径中的先后顺序和在拓扑排序中的先后顺序不变，即在最短路径和拓扑排序中，都是$S$排在前面，中间节点依次排在中间，$V$排在最后面 [^2]。 - **第一个点的正确性**：在算法中，拓扑排序中第1个点（源点）是正确的。由于源点入度为0，对其邻接点进行松弛操作后，取入度为0的点$v_1$，因为$v_1$只有源点一个前驱结点，所以此时$dist[v_1]$为源点到$v_1$的最短距离 [^4]。 - **后续点的正确性**：在拓扑排序的过程中，每次选取入度为0的点进行处理，因为是有向无环图，所以在处理某个节点时，其所有前驱节点都已经处理完毕，即其前驱节点到源点的最短距离已经确定。那么在对该节点及其邻接点进行松弛操作时，能够保证得到的距离是最短的。 ### 相关代码示例（Python 伪代码） ```python from collections import defaultdict, deque def topological_sort(graph, in_degree): queue = deque([node for node in in_degree if in_degree[node] == 0]) top_order = [] while queue: node = queue.popleft() top_order.append(node) for neighbor in graph[node]: in_degree[neighbor] -= 1 if in_degree[neighbor] == 0: queue.append(neighbor) return top_order def dag_shortest_path(graph, in_degree, source): top_order = topological_sort(graph, in_degree) dist = {node: float('inf') for node in graph} dist[source] = 0 for node in top_order: for neighbor, weight in graph[node].items(): if dist[node] + weight < dist[neighbor]: dist[neighbor] = dist[node] + weight return dist ```
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