【算法】难想到的母函数解整数分解_特殊母函数的分解-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Broken_String_/article/details/79514134

本文介绍了一种使用母函数法解决整数划分问题的方法，并通过实例详细解释了其背后的数学原理。此外，还提供了具体的C++实现代码。

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母函数法解整数划分

上课的时候听得挺MB

然后自己看了半天dalao们的思路才理解

~~（此次%%%一波大佬们orz）~~

关键

两个数相乘指数相加

G(x)=(1+x+x^2+x^3+x^4+……)(1+x^2+x^4+x^6)(1+x^3+x^6+x^9+……)(1+x^4+x^8+x^12+……)……

第一个式子代表的是1取一个，两个，三个，这里的几个代表式子中的指数

而可以把N分成N个1，所以第一个式子是N个，以此类推，第二个式子可以取N/2个

方案数就会等于x的指数等于N时有几个

*例:N=7时，可以从第一个式子中x^7得到（取7个1），同时可以通过第一个式子中的x^5加上第二个式子中的x^2得到（取5个1和1个2）*

思路

把第一个式子全部赋值为一种

c1存变量，c2存每两个式子相乘的方案数

最终答案在c1[n]中

代码如下

    #include<iostream>
    using namespace std;
    int c1[200],c2[200];
    int n;
    int main()
    {
        cin>>n;
        for(int i=0;i<=n;i++)
        c1[i]=1; 
        for(int i=2;i<=n;i++)//从第二个式子算起 
        {
            for(int j=0;j<=n;j++)//第i个式子中有n个数 
            {
                for(int k=0;k+j<=n;k+=i)//k+=i是因为第j个式子的增量是i 
                                        //k+j<=n是因为只需要算到n，后面的可以不用算 
                {
                    c2[k+j]+=c1[j];//方案数累加 
                }
            }
            for(int i=0;i<=n;i++)
            {
                c1[i]=c2[i];//交换变量计算下一个式子 
                c2[i]=0;
            }
        }
        cout<<c1[n];//华丽丽地输出总方案数 
    }