计算机图形学-扫描转换圆弧-方程法-中点算法-内多边形逼近算法-OPENGL实现-详解

最新推荐文章于 2025-01-29 08:00:00 发布

望君持之以恒

最新推荐文章于 2025-01-29 08:00:00 发布

阅读量2.8k

点赞数 1

分类专栏：计算机图形学文章标签：计算机图形学 OPENGL 扫描转换圆弧内多边形逼近中点算法

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/BoyInC0de/article/details/90601100

版权

计算机图形学专栏收录该内容

3 篇文章

订阅专栏

博客介绍了生成圆弧的三种方法，即方程法、中点算法和逼近算法，采用OPENGL1.1库和VS2019实现。详细阐述了中点算法和逼近算法的原理、判别式及递推公式，还给出了工程代码下载地址，代码包含中点和内多边形逼近两种算法，可调节参数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

说明与环境配置

生成一段圆弧的方法主要有三种:

方程法
中点算法
逼近算法
我所采用的实现方式:
OPENGL1.1库 + VS2019

环境配置

https://blog.youkuaiyun.com/BoyInC0de/article/details/90079870

扫描转换圆弧

方法一: 方程法

利用隐函数方程: $x^2+y^2=R^2$
$\ (x_i,y_i)=\sqrt{R^2-x_i^2} \xrightarrow{取整} (x_i,y_{i,r})$

离散角度:
利用参数方程:
$\begin{cases} x=R\cos\theta \\ y=R\sin\theta \end{cases}$
$(round(R\cos\theta_i),round(R\sin\theta_i))$
这种算法的缺点就是:
开平方, 三角函数计算量大

代码描述: 算法比较简单, 暂无代码.

方法二: 中点算法

在这里插入图片描述
利用圆弧的正负划分性来绘制圆弧, 说到正负划分性, 可以参考上一篇直线段的扫描算法中, 中点算法也利用了直线的正负划分性
传送门: https://blog.youkuaiyun.com/BoyInC0de/article/details/90549419

方程:
$F(x,y)=x^2+y_2-R^2=0$
正负划分性:
圆弧外的点: $\ F(x,y)\gt0$
圆弧内的点: $\ F(x,y)\lt0$
圆弧上的点: $\ F(x,y)=0$
圆具有八分对称性:
在这里插入图片描述
至于为什么八分, 就要从斜率的角度来考虑, 参考上一篇文章, 直线段在绘制时, 也分为了4个斜率
以第一象限切矢量斜率 $\ -1\lt m\lt 0$ 为例说明:

如果 $\ F(M)\geq0$ , 中点M在圆内, 取点E
如果 $\ F(M)\lt0$ , 中点M在圆外, 取点SE

构造判别式:
取第一个点 $x_0,y_0)$ , 下一点(中点) $M(x_0+1,y_0-0.5)$
$\begin{aligned} 设d=F(M) &=F(x_0+1,y_0 - 0.5)\\ &= (x_0+1)^2 + (y_0 - 0.5)^2 - R^2 \end{aligned}$
取第三个点分两种情况:

第一种情况上一点的: $\ d\geq0$ , 取SE:
初始点: $x_0,y_0)$ , 第一个点: $M(x_0+1,y_0-1)$ , 那么第二个点 $x_0+2,y_0-1.5)$ 代入F(x,y)
$\begin{aligned} F(x_0+2,y_0-1.5) &= (x_0+2)^2 + (y_0 - 1.5)^2 -R^2 \\ &= (x_0^2+2x_0+1)+(y_0^2-y_0+0.25)-R^2+2x_0+3-2y_0+2 \\ &= d +(2x_0+3)+(-2y_0+2) \end{aligned}$
沿着右下方向, d的增量为 $2(x_0-y_0)+5$

第二种情况上一点的: $\ d\lt0$ , 取E:
初始点: $x_0,y_0)$ , 第一个点: $M(x_0+1,y_0)$ , 那么第二个点 $x_0+2,y_0-0.5)$ 代入F(x,y)
$\begin{aligned} F(x_0+2,y_0-0.5) &= (x_0+2)^2 + (y_0 - 0.5)^2 -R^2 \\ &= (x_0^2+2x_0+1)+(y_0^2-y_0+0.25)-R^2+2x_0+3 \\ &= d +(2x_0+3) \end{aligned}$
沿着右下方向, d的增量为 $2x_0+3$

d的初始值在第一个像素 $\ (0,R)$ 处
$d_0 = F(1,R-0.5) = 1.25-R$
因为算法中有浮点数, 和直线段中的做法类似, 我们用 $\ h=4d$ , 得到:
$H_0=5-4R$

通过归纳法, 我们就得到递推公式:
$\begin{aligned} H_0 &= 5-4R \\ H_{i+1}&= \begin{cases} H_i + 8x_i + 12, & \text{$H_i\leq 0$} \\ H_i + 8(x_i-y_i)+20, & \text{$H_i\gt 0$} \\ \end{cases}\\ y_{i+1}&= \begin{cases} y_i, \quad\quad &\text{$H_i\leq 0$} \\ y_i-1, \quad\quad & \text{$H_i\gt 0$} \\ \end{cases}\quad\quad\quad x_{i+1} = x_i+1 \end{aligned}$
为了便于程序实现:
令
$E_i = 8x_i + 12$

$SE_i=8(x_i-y_i)+20$
递推公式:
$\begin{aligned} E_{i+1} &= 8(x_i+1) +12 \\ &=8x_i+12+8 \\ &=E_i + 8 \\ SE_{i+1} &= 8(x_{i+1}-y_{i+1})+20 \\ &= \begin{cases} SE_i + 8, & \text{$H_i \leq 0$} \\ SE_i + 16, & \text{$H_i \gt 0$} \\ \end{cases} \end{aligned}$
初始值:
$\begin{aligned} E_0 &= 8x_i+12=12 \\ SE_0 &= 8(x_i-y_i)+20=20-8R \end{aligned}$
为此, 可得到变量关系:
在这里插入图片描述

核心代码:

for (i = x0; i < x0 + (int)R * 0.707; i++) {			//x0, y0 是圆心,	x, y是缓冲区内写的点
		if (h > 0) {	
				--y;
				h += se;
				e += 8;
				se += 16;
		}
		else {
				h += e;
				e += 8;
				se += 8;
		}
		x++;
}

方法三: 逼近算法

在这里插入图片描述
则逼近边数 $\ n$ , 每一边对应圆心角 $\alpha$
假设半径 $\ R=1$ , 初始点 $\ (x_0,y_0)=(\cos\alpha, \sin\alpha)$
$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x_1\\ y_1\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} sin(2\alpha)\\ cos(2\alpha)\\ \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \cos\alpha&-\sin\alpha\\ \sin\alpha&\cos\alpha\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} cos\alpha\\ sin\alpha\\ \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} \cos\alpha &-\sin\alpha\\ \sin\alpha&\cos\alpha\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_0\\ y_0\\ \end{pmatrix} \\ \end{aligned}$
经过归纳法:
$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x_{i+1}\\ y_{i+1}\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\alpha&-\sin\alpha\\ \sin\alpha&\cos\alpha\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_i\\ y_i\\ \end{pmatrix} \\ \end{aligned}$
特点:
$\alpha$ 是常数, $\sin\alpha$ , $\cos\alpha$ 只需要在开始时计算一次.
所以一个顶点只需4次乘法, 共 $\ 4n$ 次乘法, 外加直线段的中点算法的计算量.
(我上传的代码里是6n次乘法, 已经将改正写在后面)

核心代码:

		for (int i = 0; i <= edgen; i++) {
			glVertex2f(x0 + R * x, y_0 + R * y);
			temp = x;
			x = ca * x - sa * y;
			y = sa * temp + ca * y;
		}

工程代码下载与效果展示:

该代码采用包含圆弧绘制的两种算法:
**中点算法, 和内多边形逼近算法. **
分别采用函数来绘制, 可自选中点算法或内多边形逼近算法, 可调节内多边形边数, 可调节颜色
虽然OpenGL1.1库文件较老, 但不论是对于教学还是实践, 对理解直线段算法都具有重要意义.

下载地址: https://download.youkuaiyun.com/download/boyinc0de/11209226
更正:
下载后第78行改为:

		x = R * ca; y = R * sa;

第80行改为:

		glVertex2f(x0 + x, y_0 + y);

算法将少做乘法 $\ 2n$ 次 !!!

效果展示:

其中外侧图形为: 中点算法
内侧图形为: 逼近算法

在这里插入图片描述