[BZOJ2726][SDOI2012]任务安排（斜率优化dp+cdq分治）

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CDQ分治/整体二分

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本文详细介绍了一种动态规划问题的多种优化方法，包括O(n^3)、O(n^2)和O(nlogn)的不同解决方案，并通过具体实例展示了如何利用斜率优化和单调队列进行高效求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目：

我是超链接

题解：

Emmm首先一眼dp了吧。

$O(n^3)$

很蒻的博主就设计了一个浅显的dp[i][j]表示前i个分成j组的最小费用， $O(n^3)$ 而且看上去根本没有办法优化的样子？！

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
int n,s,T[10005],F[10005],dp[5005] [5005],ans;
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&s);
    for (int i=1;i<=n;i++) 
    {
        scanf("%d%d",&T[i],&F[i]);
        T[i]+=T[i-1]; F[i]+=F[i-1];
    }
    memset(dp,0x7f,sizeof(dp)); ans=dp[0][0]; dp[0][0]=0;
    for (int i=1;i<=n;i++) dp[i][1]=(s+T[i])*F[i];
    for (int i=2;i<=n;i++)
      for (int k=1;k<i;k++)
        for (int j=2;j<=k+1;j++) 
          dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[k][j-1]+(F[i]-F[k])*(j*s+T[i]));
    for (int i=1;i<=n;i++) ans=min(ans,dp[n][i]);
    printf("%d",ans);
}

$O(n^2)$

不行啊，上面这一坨看上去根本没法优化，起码需要一个 $O(n^2)$ 的方法啊
从头来过，f(i)表示前i个的最小花费… 但是时间有后效性啊，这个后效性主要就在这个s上，因为你不知道前面分了多少组啊
那么我们把s单独抽出来考虑，假设我们将整个序列划分成了m段，每一段的F的和依次是 $p_1,p_2..p_m$ ，那么s带来的花费就是
$s*p_1+2*s*p_2+3*s*p_3…+m*s*p_m$
$=s*(p1+2*p2+3*p3+…+m*pm)$
观察前面的那个式子，系数是等差的，其实稍微转化一下就是另一种形式：
$(p_1+p_2+p_3+…+p_m)+(p_2+p_3+…+p_m)+(p_3+…+p_m)+…+(p_m)$
F的后缀和？！
这样的话，我们就非常完美地将s所带来的影响消除了

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
int n,s,T[10005],F[10005],dp[10005],ans;
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&s);
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&T[i],&F[i]),T[i]+=T[i-1];
    for (int i=n-1;i>=1;i--) F[i]+=F[i+1];
    memset(dp,0x7f,sizeof(dp)); dp[0]=0; 
    for (int i=1;i<=n;i++)
      for (int j=0;j<i;j++) 
        dp[i]=min(dp[i],dp[j]+s*F[j+1]+(F[j+1]-F[i+1])*T[i]);
    printf("%d",dp[n]);
}

$O(nlogn)$

上面的 $f[i]=min( f[j]+F[j+1]*(s+Ti)-F[i+1]*T[i] )$
T如果是不小于0的话随便看看就应该知道单调队列就可以做
我一看SDOI题目数据范围，-(2^8)<=Ti<=2^8，你的T都能小于0了你咋不上天呐
这一波画画柿子就可以斜率优化dp做了吧
$f[j]+s*F[j+1]=-Ti*F[j+1]+F[i+1]*Ti+f[i]$
这就是斜率为-Ti，截距为F[i+1]*Ti+f[i]，当截距最小时，由于F[i+1]*Ti为定值，所以f[i]最小，维护一个下凸壳
因为要枚举j找一个最优值，我们可以把(F[j+1],f[j]+s*F[j+1])当做一个点，这不就跟刚才的题目一样啦
当然也可以用splay维护凸包（挖坑

卡常数技巧：
把不用longlong的开成int！
用快读

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define LL long long
using namespace std;
const int INF=1e9;
const int N=300005;
struct hh{LL y,d;int x,k,id;}Q[N],jl[N];
int n,stack[N],T[N],F[N],s;LL dp[N];
int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while (ch<'0'||ch>'9'){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while (ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}
double getk(hh a,hh b)
{
    if (a.x==b.x) return -INF;
    return ((double)(a.y-b.y)/(double)(a.x-b.x));
}
void merge(int l,int r)
{
    int mid=(l+r)>>1,t1=l,t2=mid+1;
    for (int i=l;i<=r;i++)
      if ((t1<=mid && Q[t1].x<Q[t2].x) || t2>r) jl[i]=Q[t1++];
      else jl[i]=Q[t2++];
    for (int i=l;i<=r;i++) Q[i]=jl[i];
}
void cdq(int l,int r)
{
    if (l==r){Q[l].x=F[l+1]; Q[l].y=dp[l]+(LL)s*F[l+1]; return;}
    int mid=(l+r)>>1,t1=l,t2=mid+1,top=0;   
    for (int i=l;i<=r;i++)
      if (Q[i].id<=mid) jl[t1++]=Q[i];
      else jl[t2++]=Q[i];
    for (int i=l;i<=r;i++) Q[i]=jl[i];
    //按照时间分开，此时右边已经是想要的形式，左边会在cdq分治里完成  
    cdq(l,mid);
    for (int i=l;i<=mid;i++)//维护一个下凸壳 
    {
        while (top>1 && getk(Q[stack[top]],Q[i])<=getk(Q[stack[top-1]],Q[stack[top]])) top--;
        stack[++top]=i;
    }
    int now=1;
    for (int i=mid+1;i<=r;i++)
    {
        while (now<top && getk(Q[stack[now]],Q[stack[now+1]])<jl[i].k) now++;
        int j=stack[now];
        dp[jl[i].id]=min(dp[jl[i].id],Q[j].y-(LL)Q[j].x*jl[i].k-jl[i].d);
    }
    cdq(mid+1,r); merge(l,r);
}
int cmp(hh a,hh b){return a.k<b.k;}
int main() 
{
    n=read(); s=read();
    for (int i=1;i<=n;i++) T[i]=read(),F[i]=read(),T[i]+=T[i-1];
    for (int i=n;i>=0;i--) F[i]+=F[i+1];
    for (int i=0;i<=n;i++) Q[i].k=-T[i],Q[i].id=i,Q[i].d=(LL)F[i+1]*T[i];
    sort(Q,Q+n+1,cmp);
    memset(dp,0x7f,sizeof(dp)); dp[0]=0;
    cdq(0,n);
    printf("%lld",dp[n]);
}