【loli的胡策】联校10.27（数学期望）

最新推荐文章于 2021-01-11 21:48:57 发布

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本文探讨了一道关于区间最大值问题的算法题，通过巧妙的数学推导，证明了对于固定长度的区间，所有排列的期望是固定的，并给出了解决方案。最终实现了O(m)的时间复杂度。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

T3：

这里写图片描述

题解：

yq AC的题目%%%
这道题最好的效率可以做到 $O(m)$
首先可以知道只要我们取出长度固定的一段，ta所有的排列期望都是固定的。
证明1：长度固定的1~k变成2~k+1相当于把1挪到k+1的位置上，相当于是一样的
证明2：~~这不是显然吗~~
知道了这个再分析区间最大值的问题：我们知道，只要有m，m就一定是最大的，m是最大的种数： $m^k-(m-1)^k$ 【每个空可以填1~m的数字（总）-每个空只填1~m-1的数字=会有m出现】；那要是让m-1是最大的，就是m不存在且m-1存在，种类数： $(m-1)^k-(m-2)^k$ 【不存在m的-不存在m-1的】……可能到这里就可以发现什么了，每一个区间最大值的种数我们是可以求出的！
问题可解？
最后不要忘记乘上那相同的n-k+1段！

代码：

#include <cstdio>
#define LL long long
using namespace std;
const LL mod=1e9+7;
int i;LL ans,mil[1405],w[1405],n,m,k;
LL ksm(LL a,int k)
{
    LL ans=1;
    for (;k;k>>=1,a=a*a%mod)
      if (k&1) ans=ans*a%mod;
    return ans;
}
int main()
{
    freopen("kat.in","r",stdin);
    freopen("kat.out","w",stdout);
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    for (i=1;i<=m;i++) scanf("%d",&w[i]);
    for (i=1;i<=m;i++) mil[i]=(ksm(i,k)-ksm(i-1,k)+mod)%mod;    
    LL gl=ksm(m,k);gl=ksm(gl,mod-2);
    for (i=1;i<=m;i++) ans=(ans+mil[i]*w[i]%mod)%mod;   
    ans=ans*(n-k+1)%mod;
    printf("%lld",(LL)ans*gl%mod);
}