【loli的胡策】联校10.27(数学期望)

本文探讨了一道关于区间最大值问题的算法题,通过巧妙的数学推导,证明了对于固定长度的区间,所有排列的期望是固定的,并给出了解决方案。最终实现了O(m)的时间复杂度。

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T3:

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题解:

yq AC的题目%%%
这道题最好的效率可以做到O(m)
首先可以知道只要我们取出长度固定的一段,ta所有的排列期望都是固定的
证明1:长度固定的1~k变成2~k+1相当于把1挪到k+1的位置上,相当于是一样的
证明2:这不是显然吗
知道了这个再分析区间最大值的问题:我们知道,只要有m,m就一定是最大的,m是最大的种数:mk(m1)k【每个空可以填1~m的数字(总)-每个空只填1~m-1的数字=会有m出现】;那要是让m-1是最大的,就是m不存在且m-1存在,种类数:(m1)k(m2)k【不存在m的-不存在m-1的】……可能到这里就可以发现什么了,每一个区间最大值的种数我们是可以求出的!
问题可解?
最后不要忘记乘上那相同的n-k+1段!

代码:

#include <cstdio>
#define LL long long
using namespace std;
const LL mod=1e9+7;
int i;LL ans,mil[1405],w[1405],n,m,k;
LL ksm(LL a,int k)
{
    LL ans=1;
    for (;k;k>>=1,a=a*a%mod)
      if (k&1) ans=ans*a%mod;
    return ans;
}
int main()
{
    freopen("kat.in","r",stdin);
    freopen("kat.out","w",stdout);
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    for (i=1;i<=m;i++) scanf("%d",&w[i]);
    for (i=1;i<=m;i++) mil[i]=(ksm(i,k)-ksm(i-1,k)+mod)%mod;    
    LL gl=ksm(m,k);gl=ksm(gl,mod-2);
    for (i=1;i<=m;i++) ans=(ans+mil[i]*w[i]%mod)%mod;   
    ans=ans*(n-k+1)%mod;
    printf("%lld",(LL)ans*gl%mod);
}
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