10行代码，带你理解自然底数e、自然指数ln

引言

我们知道，e是一种常数，和$\pi$类似，都是一种被计算出来的常数，在实际中具有非常广泛的应用。

基于自然底数e，我们常常会用到自然指数$e^x$，自然对数$ln(x)$，但你知道e是怎么来的吗？

自然底数e

（图片来源于¹）

一种直观的理解方式是：$\pi$是周长和直径之比，e是连续增长过程的增长单位。

每当系统呈指数和持续增长时，就可以用自然底数e来近似，比如人口增长、放射性衰变、利息计算²等等。

e的数学计算公式（一）：

$$e=\underset{n\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{n}{)}^{1\ast n}$$

e可以用来表达一种持续增长的完美复利情况。¹

假如有一个投资的收益率为100%，结算时间为1/n个单位时间，即每1/n个时间单位就按照$(1+\frac{1}{n})$进行增长，那么在结算时间最短的情况下，最大收益水平近似为e=2.7182818……。

ps.实际银行存款是按年结算，而非持续增长，以收益率3%为例，1年后的本金加利息为(1+r)*1 = 1.03。

用python的sympy科学计算库，可以实现函数求极限，我们来计算一下公式（一）：

import numpy as np
import sympy
from sympy import oo #表示无穷大

n=sympy.Symbol(